2018年高考数学江苏16<-->2018年高考数学江苏18
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成。已知圆的半径为米，点到的距离为米。现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求，均在线段上，，均在圆弧上。设与所成的角为。
（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为。求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大。
（1）过作于点，连结，延长交于点。
则，，，，，
所以，，
点到的距离为。
所以，
。
因为，即，
又因为、不与重合，即，
所以。
答：矩形的面积为平方米，的面积为平方米，的取值范围是。
（2）设年总产值为，甲种蔬菜单位面积年产值为，乙种蔬菜单位面积年产值为（），
则有，
设，
则。
由（1）知，
所以令，有，解得 ，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取最大值，最大，此时。
答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大。
本题主要考查三角函数及导数在研究函数中的应用。
（1）根据平面几何的相关知识用三角函数将矩形和的面积表示出来即可，再根据和、不与重合得到。
（2）根据题意设甲、乙两种蔬菜单位面积年产值分别为、，再根据（1）中表示出来的大棚面积，得到总产值，利用导数研究函数，得到当时，取最大值，即年总产值最大。
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