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2017年高考数学新课标2--理22

(2017新课标Ⅱ卷计算题)

[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

(1)为曲线上的动点,点在线段上,且满足,求点的轨迹的直角坐标方程;

(2)设点的极坐标为,点在曲线上,求面积的最大值。

【出处】
2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷):理数第22题
【答案】

(1)由题意得,的直角坐标方程为,所以的横坐标为,设点的坐标为,点的纵坐标为,因为点在线段上,且,所以且满足,所以,因为,所以,等式两边平方并化简得,即,因为,所以,即,所以的直角坐标方程为

(2)由题意得,点的直角坐标为,代入方程可知点在曲线上,且直线的方程为,当是与垂直且经过圆心的直线与交于右下方的点时,点的距离最大,即的面积最大,此时点的距离圆心到的距离加上半径长,即,所以面积的最大值

【解析】

本题主要考查极坐标和圆与方程。

(1)根据可知的直角坐标方程,设点的坐标为,根据,代入化简即可得的直角坐标方程;

(2)将点化为直角坐标可知其在上,故求的最大面积问题转化为求点的最大距离。

【考点】
坐标系圆与方程
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