2017年高考数学上海20<-->返回列表
设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有。
（1）若，求的取值范围。
（2）若为周期函数，证明：是常值函数。
（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值。函数。证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”。
（1）因为对于任意的，当时，都有，即可知道函数是一个不递减的函数，即。若，其导函数为，可以得到。
（2）假设不是常值函数，并且其周期为。
令，且存在一个，使得。由于的性质可知，，且。因为是周期函数，所以，这与前面的结论矛盾，所以假设不成立，即是常值函数。
（3）充分性证明：当为常值函数时，令，即，因为是周期函数，所以也是周期函数。
必要性证明：当是周期函数时，令周期为。即有，则，又因为是周期函数，所以。即可得到，所以是周期函数，由（2）的结论可知，是常值函数。
综上所述，是周期函数的充要条件是是常值函数。
本题主要考查函数综合。
（1）根据题意给出的函数的性质，可以判断函数的导数。再对求导，求解不等式即可得到。
（2）用反证法来证明。如果函数不是常数，即函数的可能是单调增函数、或者部分递增部分常值。利用函数的周期性和不递减的性质，即可证明结论与假设矛盾。即假设不成立，是常值函数。
（3）首先证明充分性，是很显然的，的周期性与一样。然后再证必要性，利用问题（2）的结论即可得证。
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