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2017年高考数学上海21

  2017-08-10 10:31:46  

(2017上海卷计算题)

设定义在上的函数满足:对于任意的,当时,都有

(1)若,求的取值范围。

(2)若为周期函数,证明:是常值函数。

(3)设恒大于零,是定义在上、恒大于零的周期函数,的最大值。函数。证明:“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”。

【出处】
2017年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):理数第21题
【答案】

(1)因为对于任意的,当时,都有,即可知道函数是一个不递减的函数,即。若,其导函数为,可以得到

(2)假设不是常值函数,并且其周期为

,且存在一个,使得。由于的性质可知,,且。因为是周期函数,所以,这与前面的结论矛盾,所以假设不成立,即是常值函数。

(3)充分性证明:当为常值函数时,令,即,因为是周期函数,所以也是周期函数。

必要性证明:当是周期函数时,令周期为。即有,则,又因为是周期函数,所以。即可得到,所以是周期函数,由(2)的结论可知,是常值函数。

综上所述,是周期函数的充要条件是是常值函数。

【解析】

本题主要考查函数综合。

(1)根据题意给出的函数的性质,可以判断函数的导数。再对求导,求解不等式即可得到

(2)用反证法来证明。如果函数不是常数,即函数的可能是单调增函数、或者部分递增部分常值。利用函数的周期性和不递减的性质,即可证明结论与假设矛盾。即假设不成立,是常值函数。

(3)首先证明充分性,是很显然的,的周期性与一样。然后再证必要性,利用问题(2)的结论即可得证。



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