2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：文数第20题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：文数第22题
（本小题满分12分）
已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小。
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）曲线在点处的切线与轴交于点，直线分别与直线及轴交于点，。以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为。试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论。
解法一：（Ⅰ）设为曲线上任意一点，依题意，点到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点、直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为；
（Ⅱ）当点在曲线上运动时，线段的长度不变，证明如下：由（Ⅰ）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即，由，得，由，得，又，所以圆心，半径，，所以点在上运动时，线段的长度不变。
解法二：（Ⅰ）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为；
（Ⅱ）同解法一。
本题主要考查抛物线的应用。
（Ⅰ）根据抛物线的定义来求抛物线方程；
（Ⅱ）运用数形结合思想，函数与方程思想，切入点是列出切线的方程，结合抛物线解出各点坐标，再进行计算。
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