2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：文数第17题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：文数第19题
（本小题满分13分）
设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为。
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别为椭圆的左右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点。若，求的值。
（1）设，由，知。
过点且与轴垂直的直线为，
代入椭圆方程有，解得，
于是，解得，又，从而。
所以椭圆方程为。
（2）设点，，由得直线的方程为，
由方程组消去，整理得，
求解可得，。
因为，，
所以
由已知得，解得。
本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。
（1）由离心率可得与的关系，再根据题中所截取的的线段长可得出与的关系。因为，所以最后即可得到椭圆方程。
（2）通过将过焦点直线与椭圆方程联立，求得关于直线与椭圆交点坐标的一元二次方程。再运用韦达定理将得到的两坐标大小关系代入题中向量数量积的方程式即可得到的值。
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