2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：文数第16题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：文数第18题
（本小题满分13分）
如图，三棱柱中，侧棱⊥底面，且各棱长均相等。、、分别为棱、、的中点。
（1）证明平面；
（2）证明平面⊥平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值。
（1）在三棱柱中，
，且。
连结，在三角形中，因为、分别为、的中点，
所以且，
又因为为的中点，可得，且，
即四边形为平行四边形，所以。
又平面，平面，所以平面。
（2）由于底面是正三角形，为的中点，
故，又由于侧棱底面，平面，
所以，又，
所以平面，而平面，
所以平面平面。
（3）如图所示，
在平面内，过点作交直线于点，连结。
由于平面平面，而直线是平面与平面的交线，
故平面，由此得为直线与平面所成的角。
设棱长为，可得，由，易得，
在直角三角形中，。
所以直线与平面所成的角的正弦值为。
本题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识。考查了空间想象力、运算求解能力和推理论证能力。
（1）本题中出现了在一个平面内两条线的中点，可考虑连接，它是三角形的中位线，由于且它们大小相等，所以可推出，所以平面；
（2）要证两个平面互相垂直，可证明一个平面的垂线在另一个平面上。由图可发现⊥平面，即可证明两平面互相垂直；
（3）求直线与平面所成角的正弦值，可先求出直线在该平面上的投影，然后在投影所成的三角形中利用正弦定理和余弦定理求出所成角的正弦值。
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