2013年普通高校学校招生全国统一考试（上海卷）：理数第22题<-->返回列表
（本小题满分18分）
给定常数，定义函数，数列，，，满足，。
（1）若，求及；
（2）求证：对任意，；
（3）是否存在，使，，，得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由。
（1）因为，，故，。
（2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，即只需证明，若，显然有成立；若，则显然成立。综上，恒成立，即对任意的，。
（3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故无限增大时，总有。此时，，即。故，即，当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意；若，则，此时，也满足题意。综上，满足题意的的取值范围是。
本题主要考查绝对值不等式在数列中的应用。
（1）代入递推公式的函数，求解出。
（2）求解，只需要分类讨论的正负性，去掉绝对值，证明不等式成立即可。
（3）假设等差数列成立，利用会不断变大，去掉绝对值符号，得到成立的公差，并验证数列初始几个值是否满足，求出的取值范围。
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