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2013年普通高校学校招生全国统一考试(上海卷):理数第23题

  2016-10-30 09:05:35  

(2013上海卷计算题)

(本小题满分18分)

给定常数,定义函数,数列满足

(1)若,求

(2)求证:对任意

(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的,若不存在,说明理由。

【出处】
2013年普通高校学校招生全国统一考试(上海卷):理数第23题
【答案】

(1)因为,故

(2)要证明原命题,只需证明对任意都成立,即只需证明,若,显然有成立;若,则显然成立。综上,恒成立,即对任意的

(3)由(2)知,若为等差数列,则公差,故无限增大时,总有。此时,,即。故,即,当时,等式成立,且时,,此时为等差数列,满足题意;若,则,此时,也满足题意。综上,满足题意的的取值范围是

【解析】

本题主要考查绝对值不等式在数列中的应用。

(1)代入递推公式的函数,求解出

(2)求解,只需要分类讨论的正负性,去掉绝对值,证明不等式成立即可。

(3)假设等差数列成立,利用会不断变大,去掉绝对值符号,得到成立的公差,并验证数列初始几个值是否满足,求出的取值范围。

【考点】
求解绝对值不等式创新数列问题等差数列证明绝对值不等式
【标签】
验证法分类讨论思想


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