2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：理数第19题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：理数第21题
（本小题满分13分）
已知椭圆：，的两个焦点分别为，，且椭圆经过点。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程。
（Ⅰ）由椭圆定义知，，所以，又由已知，所以椭圆的离心率。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆的方程为，设点的坐标为。
（1）当直线与轴垂直时，直线与椭圆交于，两点，此时点的坐标为。
（2）当直线与轴不垂直时，设直线的方程为。因为，在直线上，可设点，的坐标分别为，，则，，又，由得，即
将代入中，得
由，得。由可知，，，代入中并化简，得
因为点在直线上，所以，代入中并化简，得。由及，可知，即。又满足，故。由题意，在椭圆内，所以，又由有且，则。所以，点的轨迹方程为，其中，。
本题主要考查椭圆的性质。
（Ⅰ）椭圆离心率为，由椭圆的性质及已知条件可求；
（Ⅱ）分类讨论：当直线与轴垂直与当直线与轴不垂直两种情况。当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，联立直线与方程，消去，利用韦达定理和确定中坐标范围，进而求得轨迹方程。
全网搜索"2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：理数第20题"相关
