2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：理数第20题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知函数，其中是实数。设，为该函数图象上的两点，且。
（Ⅰ）指出函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；
（Ⅲ）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围。
（Ⅰ）函数的单调减区间为，单调增区间为，。
（Ⅱ）由导数的几何意义可知，点处的切线斜率为，点处的切线斜率为，故当点处的切线与点处的切线垂直时，有。当时，对函数求导，得，因为，所以，所以，，因此，当且仅当，即且时等号成立。所以函数的图象在点处的切线互相垂直时，的最小值为。
（Ⅲ）当或时，，故。
当时，函数的图象在点处的切线方程为，即；
当时，函数的图象在点处的切线方程为，即，两切线重合的充要条件是，由及知，由得，。设（），则，所以是减函数，则，所以。又当且趋近于时，无限增大，所以的取值范围是，故当函数的图象在点处的切线重合时，的取值范围是。
求参数范围时，不仅要满足必要条件，还要满足充分条件。本题中，求出参数的取值范围后还应说明在这个范围中，重合的切线确实存在。
本题主要考查导数的几何意义及导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ），函数单调递增；，函数单调递减；
（Ⅱ）处的切线斜率为，点处的切线斜率为，点处的切线与点处的切线垂直时，有。则求满足且的的最小值；
（Ⅲ）两切线重合，则斜率和截距对应相等，求满足此条件的参数的范围。
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