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2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第20题

  2016-10-30 09:04:31  

(2013四川卷计算题)

(本小题满分13分)

已知椭圆的两个焦点分别为,且椭圆经过点

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于两点,点是线段上的点,且,求点的轨迹方程。

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷):理数第20题
【答案】

(Ⅰ)由椭圆定义知,,所以,又由已知,所以椭圆的离心率

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,椭圆的方程为,设点的坐标为

(1)当直线轴垂直时,直线与椭圆交于两点,此时点的坐标为

(2)当直线轴不垂直时,设直线的方程为。因为在直线上,可设点的坐标分别为,则,又,由,即

  

代入中,得  

,得。由可知,,代入中并化简,得  

因为点在直线上,所以,代入中并化简,得。由,可知,即。又满足,故。由题意,在椭圆内,所以,又由,则。所以,点的轨迹方程为,其中

【解析】

本题主要考查椭圆的性质。

(Ⅰ)椭圆离心率为,由椭圆的性质及已知条件可求;

(Ⅱ)分类讨论:当直线轴垂直与当直线轴不垂直两种情况。当直线轴不垂直时,设直线的方程为,联立直线与方程,消去,利用韦达定理和确定中坐标范围,进而求得轨迹方程。

【考点】
圆锥曲线直线与圆锥曲线
【标签】
参数法分类讨论思想数形结合


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