2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）： 理数第20题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）： 理数第22题
（本题满分13分）
如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为。
（1） 求椭圆的方程；
（2） 是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记的斜率分别为。问：是否存在常数λ，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由
（1）由在椭圆上得，
依题设知，则
代入解得。故椭圆的方程为。
（2）方法一：由题意可设的斜率为，则直线的方程为
代入椭圆方程并整理，得，
设，则有
在方程中令得，的坐标为。从而。
注意到、、共线，则有，即有。
所以
代入得，
又，所以。故存在常数符合题意。
方法二：设，则直线的方程为：，
令，求得，从而直线的斜率为，
联立，得，
则直线的斜率为：，直线的斜率为：，
所以，故存在常数符合题意。
本题主要考查椭圆方程的求解和直线与椭圆的相交。
（1）利用椭圆的离心率，椭圆过一已知点，椭圆参数已存在的关系得到三个方程，可以得到的值，于是得到椭圆的方程。
（2）本问第一种解法是采用设斜率的方法，另外设出的坐标参量，利用韦达定理将4个参量化为两个。再根据三点共线得到斜率相等。最后整理化简能够解出有意义的。
第二种解法是采用的设点法，即设出点的坐标，然后将用的坐标参数表示出来，然后根据等式解出。这种方法目标明确，就是用设的坐标参量将其他的变量表示出来，思路比较简单，但是有时候碰到题目难度较高时，这种方法会使得计算量非常大，因此在学习时应重点掌握第一种方法。
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