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2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷): 理数第21题

  2016-10-30 09:03:05  

(2013江西卷计算题)

(本题满分13分)

如图,椭圆经过点,离心率,直线的方程为

(1) 求椭圆的方程;

(2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为。问:是否存在常数λ,使得?若存在,求的值;若不存在,说明理由

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷): 理数第21题
【答案】

(1)由在椭圆上得,

 依题设知,则

代入解得。故椭圆的方程为

(2)方法一:由题意可设的斜率为,则直线的方程为

代入椭圆方程并整理,得

,则有

在方程中令得,的坐标为。从而

注意到共线,则有,即有

所以

代入

,所以。故存在常数符合题意。

方法二:设,则直线的方程为:

,求得,从而直线的斜率为

联立,得

则直线的斜率为:,直线的斜率为:

所以,故存在常数符合题意。

【解析】

本题主要考查椭圆方程的求解和直线与椭圆的相交。

(1)利用椭圆的离心率,椭圆过一已知点,椭圆参数已存在的关系得到三个方程,可以得到的值,于是得到椭圆的方程。

(2)本问第一种解法是采用设斜率的方法,另外设出的坐标参量,利用韦达定理将4个参量化为两个。再根据三点共线得到斜率相等。最后整理化简能够解出有意义的

第二种解法是采用的设点法,即设出点的坐标,然后将的坐标参数表示出来,然后根据等式解出。这种方法目标明确,就是用设的坐标参量将其他的变量表示出来,思路比较简单,但是有时候碰到题目难度较高时,这种方法会使得计算量非常大,因此在学习时应重点掌握第一种方法。

【考点】
圆锥曲线直线与圆锥曲线
【标签】
函数与方程的思想综合与分析法


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