2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）： 理数第19题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）： 理数第21题
（本题满分12分）
如图，四棱锥中，⊥平面，为的中点，为的中点，，，，连接并延长交于。
（1） 求证：⊥平面；
（2） 求平面与平面的夹角的余弦值。
（1）在△中，因为是的中点，所以。
故，
因为，所以，
从而有，
故，，又因为，所以。
又平面，所以⊥，故平面。
（2）
以点为坐标原点建立如图所示的坐标系，则，
设平面的法向量，则
解得，即。
设平面的法向量，则，解得，
即。从而平面与平面的夹角的余弦值为。
本题主要考查立体几何中直线与平面的位置关系以及二面角的求法。
（1）证明直线垂直于平面，一般采用证明直线垂直于平面中相交的两条直线，而且一般来说选择平面中和这条直线相交的两条直线，一般不用异面直线，比如本题就选用和。
（2）求二面角一般有两种方法，一是建系法，二是几何法。建系法的关键就是建立合适的坐标系；几何法的关键就是做出这个二面角。本题中平面，而且易证明，提供了合适的坐标系，可以考虑建系法，以点为坐标原点建立如图所示的坐标系，然后求出图中要用到的点的坐标。求二面角就是要求出两个平面的法向量，然后利用公式。这里还要注意判断二面角是锐角还是钝角，确定的正负。
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