2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第20题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第22题
（本小题满分13分）
过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且，与相交于点，与相交于点，。以，为直径的圆，圆（，为圆心）的公共弦所在的直线记为。
（Ⅰ）若，证明；；
（Ⅱ）若点到直线的距离的最小值为，求抛物线的方程。
（Ⅰ） ，设，，，，，。
直线的方程：与抛物线方程联立，化简整理得：，所以：
所以，所以，
所以成立（证毕）。
（Ⅱ）设圆、的半径分别是，
。
同理，。
圆、的方程分别是，。直线的方程是：
点到直线的距离：
所以抛物线的方程为。
本题主要考查圆锥曲线方程和直线方程。
（Ⅰ）利用直线和抛物线联立，求解出向量的数量积的表达式，利用均值不等式对表达式进行放缩，得到结论。
（Ⅱ）写出直线和圆的方程，并求出圆心到直线的距离，利用二次函数对距离求解最小值，求出抛物线方程。
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