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2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷):理数第21题

  2016-10-30 09:03:34  

(2013湖南卷计算题)

(本小题满分13分)

过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线,且相交于点相交于点。以为直径的圆,圆为圆心)的公共弦所在的直线记为

(Ⅰ)若,证明;

(Ⅱ)若点到直线的距离的最小值为,求抛物线的方程。 

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷):理数第21题
【答案】

 (Ⅰ) ,设

直线的方程:与抛物线方程联立,化简整理得:,所以:

所以,所以

所以成立(证毕)。

(Ⅱ)设圆的半径分别是

同理,

的方程分别是。直线的方程是:

到直线的距离:

所以抛物线的方程为

【解析】

本题主要考查圆锥曲线方程和直线方程。

(Ⅰ)利用直线和抛物线联立,求解出向量的数量积的表达式,利用均值不等式对表达式进行放缩,得到结论。

(Ⅱ)写出直线和圆的方程,并求出圆心到直线的距离,利用二次函数对距离求解最小值,求出抛物线方程。 

【考点】
圆锥曲线直线与圆锥曲线
【标签】
函数与方程的思想综合与分析法放缩法


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