2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第21题<-->返回列表
（本小题满分13分）
已知，函数。
（Ⅰ）记在区间上的最大值为，求的表达式；
（Ⅱ）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。
（Ⅰ）因为，所以
所以当时，在上单调递减，其最大值为；
当时，在上单调递减，在上单调递增。
令，解得，即当时，的最大值为；当时，的最大值为。
综上所述，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此，若在图像上存在两点满足题目要求，则，分别在两个图像上，且。
不妨设
所以且，
所以，当时，函数在区间内的图像存在两点，在该两点处的切线相互垂直。
本题主要考查导数和直线方程。
（Ⅰ）首先将函数绝对值打开，然后按照其单调性和的取值范围进行分类讨论，得到表达式。
（Ⅱ）对求导，设出两个点的坐标，利用切线互相垂直，导数相乘为，联立的式子表达出两点坐标的关系，并用其中的一个点的坐标表示另一个，再根据该点坐标的取值范围确定的取值范围，若，则存在，否则不存在。
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