2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：理数第18题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：理数第20题
（本小题满分12分）
如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，，分别是，的中点。
（Ⅰ）记平面与平面的交线为 ，试判断直线 与平面的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 与圆的另一个交点为，且点满足。记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：。
（Ⅰ）直线平面，证明如下：
连接，因为分别是的中点，所以。
又平面，且平面，所以平面。
而平面，且平面平面，所以。
因为平面，平面，所以直线平面。
（Ⅱ）（解法一：综合法）如上左图，连接，由于（I）可知交线即为直线，且，
因为是圆的直径，所以，于是。
已知平面，而平面，所以。
而，所以平面。
连接，，因为平面，所以。
故就是二面角的平面角，即。
由，作，且。
连接，，因为是的中点，，所以，
从而四边形是平行四边形，。
连接，因为平面，所以是在平面内的射影，
故就是直线与平面所成的角，即。
又平面，有，知为锐角，
故为异面直线与所成的角，即，
于是在中，分别可得
，
从而，即。
（解法二：向量法）如上图右，由，作，且。
连接，，，，，由（I）可知交线 即为直线。
以点为原点，向量所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，则有
，，，，，，
于是，
所以，从而。
又取平面的一个法向量，可得。
设平面的一个法向量为，
所以由，可得，取。
于是，从而。
故，即。
本题主要考查立体几何中线面位置关系的判断。
（Ⅰ）本题应该根据“ 如果平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行”得到平面，再根据定理“如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么该直线就和交线平行”得到，进一步可以得到平面。
（Ⅱ）本题可利用向量法。依题意有，，，三条直线两两垂直，于是可以为原点，以向量所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再分别求出平面的法向量，然后再求出；同理得到向量，然后再求出,最后求出平面的法向量，根据，然后再求出，最后便可证明。本题也可利用几何法求出，，。这时需要通过几何法做出对应的线面角、线线角与面面角，得到其比例表示。最后同样可以证明。
全网搜索"2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：理数第19题"相关
