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2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷):理数第19题

  2016-10-30 09:03:18  

(2013湖北卷计算题)

(本小题满分12分)

如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面分别是的中点。

(Ⅰ)记平面与平面的交线为 ,试判断直线  与平面的位置关系,并加以证明;

(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线  与圆的另一个交点为,且点满足。记直线与平面所成的角为,异面直线所成的角为,二面角的大小为,求证:

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷):理数第19题
【答案】

(Ⅰ)直线平面,证明如下:

连接,因为分别是的中点,所以

平面,且平面,所以平面

平面,且平面平面,所以

因为平面平面,所以直线平面

(Ⅱ)(解法一:综合法)如上左图,连接,由于(I)可知交线即为直线,且

因为是圆的直径,所以,于是

已知平面,而平面,所以

,所以平面

连接,因为平面,所以

就是二面角的平面角,即

,作,且

连接,因为的中点,,所以

从而四边形是平行四边形,

连接,因为平面,所以在平面内的射影,

就是直线与平面所成的角,即

平面,有,知为锐角,

为异面直线所成的角,即

于是在中,分别可得

从而,即

(解法二:向量法)如上图右,由,作,且

连接,由(I)可知交线  即为直线

以点为原点,向量所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则有

于是

所以,从而

又取平面的一个法向量,可得

设平面的一个法向量为

所以由,可得,取

于是,从而

,即

【解析】

本题主要考查立体几何中线面位置关系的判断。

(Ⅰ)本题应该根据“ 如果平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行”得到平面,再根据定理“如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么该直线就和交线平行”得到,进一步可以得到平面

(Ⅱ)本题可利用向量法。依题意有,三条直线两两垂直,于是可以为原点,以向量所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,再分别求出平面的法向量,然后再求出;同理得到向量,然后再求出,最后求出平面的法向量,根据,然后再求出,最后便可证明。本题也可利用几何法求出。这时需要通过几何法做出对应的线面角、线线角与面面角,得到其比例表示。最后同样可以证明

【考点】
点、直线、平面的位置关系
【标签】
图解法直接法建系法


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