2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：理数第16题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：理数第18题
如图，在三棱柱中，是边长为的正方形。平面 平面，，。
（1）求证： 平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值。
（1）因为为正方形，所以。 因为平面平面，且垂直于这两个平面的交线，所以平面。
（2）由（1）知，。由题知，，，所以。如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，。设平面的法向量为，则，即。令，则，。同理可得，平面的法向量为，则。
（3）设是直线上一点，且，所以。解得，，。所以。由，即，解得。因为，所以在线段上存在点，使得。此时，。
本题主要考查立体几何的判定定理及空间向量及其运算。
（1）本问主要考查“如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直”的判定定理。只需证明直线与平面上的两条相交直线垂直即可；
（2）本问主要考查向量法，建立空间向量，以为原点，即易得二面角的余弦值；
（3）本问利用（2）中所建立的向量关系，可求得的值。
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