2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：文数第21题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：文数第23题
（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，已知双曲线。
（1）设是的左焦点，是右支上一点。若，求点的坐标；
（2）过的左顶点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
（3）设斜率为的直线交于、两点，若与圆相切，求证：。
（1）双曲线，左焦点，设，
由是右支上一点，知，则。
所以，
得，所以。
（2）左顶点，渐近线方程：，
过与渐近线平行的直线方程为：，即，
解方程组，得。
所求平行四边形的面积为。
（3）设直线的方程是，因直线与已知圆相切，故，
即 （）
由，得，
设、，则，
，
所以：
由（）知，所以。
本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及直线与双曲线的关系等相关知识。
（1）根据两点间的距离公式及点在双曲线上，可得出答案。
（2）由题意可知直线的斜率及直线过定点，可得出四条直线的方程，根据直线方程连立可得出交点坐标，根据（为除和坐标原点外的交点纵坐标，根据对称性可知，另两个交点的纵坐标的绝对值相等。）即可求得平行四边形的面积。
（3）根据直线与圆相切，得出。联立直线与双曲线的方程，得出，将上式代入，即可得出。
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