2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：文数第20题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：文数第22题
（本小题满分14分）
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向海里处，如图。现假设：
①失事船的移动路径可视为抛物线；
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为。
（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标。若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
（1）时，的横坐标，代入抛物线方程中，得的纵坐标，
由，得救援船速度的大小为海里/时， 由，得，故救援船速度的方向为北偏东弧度。
（2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为，
由，整理得，
因为，当且仅当时等号成立。
所以，即。
因此，救援船的时速至少是海里才能追上失事船。
本题主要考查抛物线方程及不等式在实际生活中的应用。
（1）将横坐标代入抛物线方程，即可得出的纵坐标。由假设②及可得出速度为海里/时。利用反三角函数表示救援船的方向即为北偏东弧度。
（2）救援船能够追上失事船说明经过小时两船会合。小时后，失事船的位置为，由，根据的范围以及基本不等式即可求得时速的最大值。
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