2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：文数第22题<-->返回列表
（本小题满分18分）
对于项数为的有穷数列数集，记，即为中的最大值，并称数列是的控制数列。如的控制数列是。
（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为，写出所有的；
（2）设是的控制数列，满足（为常数，）。求证：（）；
（3）设，常数。若，是的控制数列，求。
（1）数列为：；；；；。
（2）因为，，所以；
因为，，所以，即；
因此，。
（3）对，，，，，
比较大小，可得 ，
因为，所以
，即，
，即。
又，
从而，，，，
因此
本题主要考查推理分析能力。
（1）由题意可知：当是的控制数列时，满足，。由以上两条性质可得：，，，，。故数列为：；；；；
（2）由性质可知：要使恒成立，只需，即恒成立。由数学归纳法可知：只需，由已知找到和的关系即得证。
（3）计算需借助比较求出的通项。因为要确定中的次数，所以将式子中的以除以4的余数分为4类。经过计算得出，，，，故，，，。计算后即得解。
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