2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：理数第20题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：理数第22题
（本题满分13分）
在平面直角坐标系中，是抛物线：的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为。
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点的横坐标为，直线：与抛物线有两个不同的交点，，与圆有两个不同的交点，，求当时，的最小值。
（Ⅰ）依题意知，圆心在线段的垂直平分线上，因为抛物线的准线方程为，所以，即，因此抛物线的方程为。
（Ⅱ）假设存在点，使得与抛物线相切于点，而，，，，，所以，故，由可得，，则，即，解得，因为点是抛物线上位于第一象限内的任意一点。故点的坐标为。
（Ⅲ）若点的横坐标为，由（Ⅱ）得，圆的半径为，
所以圆的方程为。
由整理得。
设，两点的坐标分别为，，由于，，，
所以。
设，两点的坐标分别为，，由于，，。
所以，因此，
令，由于，则，所以，
设，，在上单调递增，
所以当时，，即函数在是增函数，
所以当时取到最小值，因此，当时，取得最小值。
本题主要考查抛物线方程与圆方程的综合问题。
如图：
（Ⅰ）由题知圆心在线段的垂直平分线上，又抛物线的准线方程为，故可得距离，得，则物线的方程为。
（Ⅱ）存在性问题，可先假设存在点，现设，，再利用圆的定义，即圆上的点到圆心距离相等，列出方程，求得，而由题可得直线为抛物线在点处的切线可得，由已知两点，可列出等式，解得，故点的坐标为。
（Ⅲ）分别联立直线和抛物线的方程，直线和圆的方程，求得，，再相加，其中，再利用函数求导判断单调性，求得极小值此时当，。
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