2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：理数第21题<-->返回列表
（本题满分13分）
已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ），其中为的导函数，证明：对任意，。
（Ⅰ）由，得，，由于曲线在处的切线与轴平行，所以，因此。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
令，，当时，；
当时，，又，所以时，；时，；
因此 的单调递增区间为，单调递减区间为。
（Ⅲ）因为 ，所以 ，。
因此对任意，等价于，
由（Ⅱ），，所以，。
因此，当时，，单调递增；
当时，，单调递减。
所以 的最大值为，故。
设，因为，所以时，，单调递增。
，故时，，即，
所以，因此对任意，。
本题主要考查函数的求导和求解函数单调区间。
（Ⅰ）先对函数求导，得导函数，代入切点的横坐标值，即，可求得。
（Ⅱ）由，，这时不能直接判断的正负性，先令，，通过求导判断该函数的单调性，然后可判断得当时，；当时，，从而判断出的正负性，即 的单调递增区间为，单调递减区间为。
（Ⅲ）由题，，可先将所证等价转化为证明，分析函数，，求导判断其单调性求得，而，则，故得证对任意，。
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