2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第20题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第22题
（本小题满分12分）
已知函数。
（1）讨论的单调性；
（2）设，证明：当时，；
（3）若函数的图像与轴交于，两点，线段中点的横坐标为，证明：。
（1）的定义域为， 。
（i）若，则，所以在单调增加。
（ii）若，则由得，
且当时，，当时，。
所以在单调增加，在单调减少。
（2）设函数，
则，。
当时，，而，所以。
故当时，。
（3）由（1）可得，当时，函数的图像与轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为，且。
不妨设，则。
由（2）得，
从而，于是。
由（1）知，。
本题主要考查函数及导数的性质。
（1）根据函数的导函数讨论函数的单调性；
（2）构造函数，只需证明当，时，即可；
（3）在（1）中得到了的单调性，故只需得到线段中点的横坐标为所在单调区间为减区间即可。
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