2004年
解答题
(17)(本题满分12分)
在ΔABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求bc的最大值。
(18) (本题满分12分)
盒子中有大小相同的球10个,其中标号为1的球3个,标号为2的球4个,
标号为5的球3个,第一次从盒子中任取1个球,放回后第二次再任取1个球
(假设取到每个球的可能性都相同)。记第一次与第二次取到球的标号之和为ε。
(Ⅰ)求随机变量ε的分布列;
(Ⅱ)求随机变量ε的期望Eε。
(19)(本题满分12分)
如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,
AB=,AF=1,M是线段EF的中点。
(Ⅰ)求证AM∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角A—DF—B的大小;
(20)(本题满分12分)
设曲线≥0)在点M(t,c--1)处的切线与x轴y轴所围成
的三角表面积为S(t)。
(Ⅰ)求切线的方程;
(Ⅱ)求S(t)的最大值。
(21)(本题满分12分)
已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0)点P、Q在双
曲线的右支上,支M(m,0)到直线AP的距离为1。
(Ⅰ)若直线AP的斜率为k,且,求实数m的
取值范围;
(Ⅱ)当时,ΔAPQ的内心恰好是点M,求此双曲
线的方程。
(22)(本题满分14分)
如图,ΔOBC的在个顶点坐标分别为(0,0)、(1,0)、(0,2),
设P为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线
段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的
中点,令Pn的坐标为(xn,yn),
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)证明
(Ⅲ)若记证明是等比数列.
2005年
解答题
15.已知函数f(x)=-sin2x+sinxcosx.
(Ⅰ) 求f()的值;
(Ⅱ) 设∈(0,),f()=-,求sin的值.
16.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2=2x.
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
17.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴的长为4,
左准线与x轴的交点为M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线:x=m(|m|>1),P为上的动点,
使最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表示).
18.如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,
OP⊥底面ABC.
(Ⅰ)当k=时,求直线PA与平面PBC所成角的大小;
(Ⅱ) 当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好
为△PBC的重心?
19.袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是,
从B中摸出一个红球的概率为p.
(Ⅰ) 从A中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止.(i)求恰好
摸5次停止的概率;(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为,求随机变量的
分布率及数学期望E.
(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12,将A、B中的球装在一起后,从中摸
出一个红球的概率是,求p的值.
20.设点(,0),和抛物线:y=x2+an x+bn(n∈N*),其中
an=-2-4n-,由以下方法得到:
x1=1,点P2(x2,2)在抛物线C1:y=x2+a1x+b1上,点A1(x1,0)到P2的距离是
A1到C1上点的最短距离,…,点在抛物线:y=x2+an x+bn上,
点(,0)到的距离是 到 上点的最短距离.
(Ⅰ)求x2及C1的方程.
(Ⅱ)证明{}是等差数列.
2006
解答题
(15)如图,函数的图象与y轴交于点(0,1)
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设P是图象上的最高点,M、N是图象与x轴的交点,求与的夹角。
(16)设:
(Ⅰ);
(Ⅱ)方程在(0,1)内有两个实根。
(17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD//BC,BAD=,
PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.
(Ⅰ)求证:PB⊥DM;
(Ⅱ) 求CD与平面ADMN所成的角。
(18)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有2个红球,2个白球;
乙袋装有2个红球,n个白球,现从甲、乙两袋中各任取2个球。
(Ⅰ)若n=3,求取到的4个球全是红球的概率;
(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为,求n.
(19)如图,椭圆(2,0)、B(0,1)
的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=。
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF2的中点,
求证:∠ATM=∠AF1T。
(20)已知函数数列{}()的第一项以后各项
按如下方式取定:曲线处的切线与经过(0,0)和
(两点的直线平行(如图),求证:当nN+时,
(Ⅰ);
(Ⅱ)。
2007
解答题
(18)(本题14分)已知的周长为,且.
(I)求边的长;
(II)若的面积为,求角的度数.
(19)(本题14分)在如图所示的几何体中,平面,
平面,
,且,是的中点.
(I)求证:;
(II)求与平面所成的角.
(20)(本题14分)如图,直线与椭圆
交于两点,
记的面积为.
(I)求在,的条件下,的最大值;
(II)当,时,求直线的方程.
(21)(本题15分)已知数列中的相邻两项是关于的方程
的两个根,且.
(I)求,,,;
(II)求数列的前项和;
(Ⅲ)记,
,
求证:.
(22)(本题15分)设,对任意实数,记.
(I)求函数的单调区间;
(II)求证:(ⅰ)当时,对任意正实数成立;
(ⅱ)有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立.
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