2004年

解答题

17. (12分)已知成公比为2的等比数列(

也成等比数列. 求的值.

  解答

18. (12分)如右下图,在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,已知AB= 4, AD =3, AA₁= 2.

E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.

(1) 求二面角C—DE—C₁的正切值;

(2) 求直线EC₁与FD₁所成的余弦值.

解答

19. (12分)设函数

(1) 证明: 当0< a < b ,且时,ab >1;

(2) 点P (x₀, y₀ ) (0< x₀ <1 )在曲线上,求曲线在点P处的

切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x₀表达).

解答

20 (12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、

正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观

测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生

的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)

 解答

21. (12分)设函数   其中常数m为整数.

 (1) 当m为何值时,

 (2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少

存在一点x₀∈(a,b),使g(x₀)=0.

 试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,

在[e^-ｍ-m ,e^2ｍ-m ]内有两个实根.

  解答

22．(14分)设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线x²–y²=1

相交于C、D两点， C、D三等分线段AB. 求直线的方程.

  解答

2005年

解答题

15．（本小题满分12分）

化简

并求函数的值域和最小正周期.

解答

16．（本小题满分14分）

如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.

F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB.

   （Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；

   （Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.

解答

17．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B

满足AO⊥BO（如图4所示）.

   （Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条

    中线的交点）的轨迹方程；

   （Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，

    请求出最小值；若不存在，请说明理由.

解答

18．（本小题满分12分）

箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t.

现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则

将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，

以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.

   （Ⅰ）求ξ的分布列；

   （Ⅱ）求ξ的数学期望.

解答

19．（本小题满分14分）

设函数，

且在闭区间[0，7]上，只有

   （Ⅰ）试判断函数的奇偶性；

   （Ⅱ）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.

解答

20．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、

y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落

在线段DC上.

    （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，

     试写出折痕所在直线的方程；

    （Ⅱ）求折痕的长的最大值.

     解答

       2006

解答题

15．（本小题满分14分）

已知函数

   （Ⅰ）求f(x)的最小正周期：

   （Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值：

   （Ⅲ）若求sin2的值。

 解答

16．（本小题满分12分）

    某运动员射击一次所得环数X的分布如下：

现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为。

（Ⅰ）求该运动员两次都命中7环的概率：

（Ⅱ）求的分布列：

（Ⅲ）求的数学期望E。

 解答

17．（本小题满分14分）

    如图所示，AF、DE分别是⊙、⊙₁的直径。AD与两圆所在的平面均

垂直，AD=8，BC是⊙的直径，AB=AC=6，OE//AD。

    （Ⅰ）求二面角B-AD-F的大小；

    （Ⅱ）求直线BD与EF所成的角。

解答

18．（本小题满分14分）

    设函数f(x)=-x³+3x+2分别在x₁、x₂处取得极小值、极大值。xoy平面

上点A、B的坐标分别为（x₁，f(x₁)）、（x₂，f(x₂)）。该平面上动点P满

足，点Q是点P关于直线y=2(x-4)的对称点，求：

（Ⅰ）点A、B的坐标：

（Ⅱ）动点Q的轨迹方程。

解答

19．（本小题满分14分）

已知公比为q(0＜q＜1)的无穷等比数列{a_n}各项的和为9，无穷等比

数列{a_n²}各项的和为。

（Ⅰ）求数列{a_n}的首项a₁和公比q：

（Ⅱ）对给定的k(k=1,2,…,n),设T^{k}是首项为a_k，公差为2a_k-1的

等差数列，求数列T^{2}的前10项之和：

（Ⅲ）设b_i为数列的第i项，s_n=b₁+b₂+…+b_n，求s_n，并求正整数

m(m＞1),使得存在且不等于零。

（注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷等比数列前n项和的极限）

解答

20．（本小题满分12分）

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数（x）组成的集合：

①对任意的都有(2x);②存在常数L（0＜L＜1），

使得对任意的x₁,x₂[1，2]，都有|（2x₁）- (2x₂)|.

（Ⅰ）设（x）=证明：（x）A:

 (Ⅱ)设（x），如果存在x₀(1,2),使得x₀=（2x₀）,

那么这样的x₀是唯一的：

（Ⅲ）设任取x₁(1,2),令x_n+1=（2x_n）,n=1,2……证明：给定

正整数k，对任意的正整数p,成立不等式。

解答