2004年

解答题

17．（本小题满分12分）

       求函数的取小正周期和取小值；

并写出该函数在上的单调递增区间。

解答

18．（本小题满分12分）

设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的

概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到

红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：

（1）的概率的分布列及期望E;

 (2 )  停车时最多已通过3个路口的概率。

解答

19．（本小题满分12分） 

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

(1)  证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；

(2)  若,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。

解答

20．（本小题满分12分）

设函数

(1)    求导数; 并证明有两个不同的极值点;

(2) 若不等式成立，求的取值范围。

解答

21．（本小题满分12分）

设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异

两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点

在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程。

22．（本小题满分14分）

      设数列满足

(1)     证明对一切正整数n 成立；

(2)  令,判断的大小，并说明理由。

解答

2005年

解答题

17．（本小题满分13分）

       若函数的最大值为2，试确定常数a的值.

解答

18．（本小题满分13分）

在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；

有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券

中任抽2张，求：

    （Ⅰ）该顾客中奖的概率；

    （Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列和期望

解答

19．（本小题满分13分）

       已知，讨论函数的极值点的个数

解答

20．（本小题满分13分）

    如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，

    EA⊥EB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，∠BCC1=，求：

   （Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；

   （Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值.

  解

21．（本小题满分12分）

    已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，

    而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.

    （Ⅰ）求双曲线C2的方程；

  （Ⅱ）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2

  的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.

 解答

22．（本小题满分12分）

       数列{an}满足.

    （Ⅰ）用数学归纳法证明：；

  （Ⅱ）已知不等式，其中无理数

e=2.71828….

解答

2006

（17）（本小题满分13分）

设函数（其中）。且的图像在

轴右侧的第一个最高点的横坐标是。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值；

 解答

（18）（本小题满分13分）

某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠。若该

电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均

为，用表示这5位乘客在20层下电梯的人数，求：

（Ⅰ）随即变量的分布列；

（Ⅱ）随即变量的期望；

解答

（19）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥中，底面，为直角，

，、分别为、CD的中点。

（Ⅰ）试证：平面；

（Ⅱ）设PA=K·AB，且二面角的平面角大于，求的取值范围。

                                 解答

（20）（本小题满分13分）

已知函数，其中为常数。

（Ⅰ）若，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若，且，试证：；

解答

（21）（本小题满分12分）

已知定义域为的函数满足。

（Ⅰ）若，求；又若，求；

（Ⅱ）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式；

解答

（22）（本小题满分12分）

已知一列椭圆，若椭圆上有一点，

使到右准线的距离是与的等差中项，

其中分别是的左、右焦点。

（Ⅰ）试证：；

（Ⅱ）取，并用表示的面积，

试证：且

      解答

2007年

解答题

17．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分．）

设．

（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；

（Ⅱ）若锐角满足，求的值．

解答

18．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）

某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆元的保险金，

对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获元的赔偿（假设每辆车最多只赔

偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，，，且各车是否

发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：

（Ⅰ）获赔的概率；

（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望．

解答

19．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）

如题（19）图，在直三棱柱中，

，，；

点分别在，上，且，

四棱锥与直三棱柱的体积之比为．

（Ⅰ）求异面直线与的距离；

（Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值．

解答

20．（本小题满分13分，其中（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）小问分别为6，4，3分．）

已知函数在处取得极值，其中为常数．

（Ⅰ）试确定的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调区间；

（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．

解答

21．（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）

已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：

．

解答

22．（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）

如题（22）图，中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：．

（1）求椭圆的方程；

（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点，，，

使，

证明：为定值，并求此定值．

解答