解答题
(17)(本小题满分12分)
设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,sin2x),x∈R.
(Ⅰ)若f(x)=1-且x∈[-,],求x;
(Ⅱ)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|<)平移后得到函数
y=f(x)的图象,求实数m、n的 值。
(18)(本小题满分12分)
甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能
答对其中的6题,乙能答对其中的8题。规定每次考试都从备选题中随
机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格。
(Ⅰ)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望;
(Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。
(19)(本小题满分12分)
在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,
SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点。
(Ⅰ)证明:AC⊥SB;
(Ⅱ)求二面角N-CM-B的大小;
(Ⅲ)求点B到平面CMN的距离。
(20)(本小题满分12分)
某企业2003年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能
力将逐年下降。若不能进行技术 改造,预测从今年起每年比上一年纯利
润减少20万元,今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,
预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(今年为第一年)的利润为
500(1+)万元(n为正整
数)。
(Ⅰ)设从今年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,
进行技术改造后的累计纯 利润为Bn万元(须扣除技术改造资金),求An、Bn的表达式;
(Ⅱ)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计
纯利润超过不进行技术改造 的累计纯利润?
(21)(本小题满分14分)
已知f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数。
(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;
(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:
是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]
恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由。
(22)(本小题满分12分)
如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.
(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围.
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