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2026年高考数学天津-18<-->2026年高考数学天津-20
（15分）已知等差数列$\{a_{n}\}$与等比数列$\{b_{n}\}$满足：$a_{1}=2$，$b_{1}=1$，$a_{2}=b_{1}+b_{2}$，$a_{4}=b_{3}-b_{1}$．
（1）求数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$的通项公式；
（2）记$E_{n}=\{x\in R\vert x\leqslant n$，$\exists k\in N^{*}$，使得$x=a_{k}$或$x=b_{k}\}$，记$c_{n}$为$E_{n}$中的元素个数．回答下列问题：
$(i)$求${c}_{{3}^{n}}$；
$(ii)$求$\sum\limits_{m=1}^{{3}^{n}-1}(-1)^{m}\cdot a_{m}\cdot c_{m}$．
〖答案〗（1）$a_{n}=2n$，$b_n=3^{n-1}$；
（2）$(i)c_{3^n}=\dfrac{1}{2}\cdot 3^n+n+\dfrac{1}{2}$；
$(ii)\dfrac{3^{2n+1}+(4n-6)3^n+3}{4}$．
〖分析〗（1）通过设公差、公比，利用已知条件列方程求解通项公式；
（2）$(i)$分析两数列无公共项，将$c_{3^n}$转化为两数列不大于$3^{n}$的项数之和；
$(ii)$先分区间、分奇偶表示$c_{m}$与$(-1)^{m}a_{m}c_{m}$，再分组求和，结合错位相减法与等比数列求和公式计算结果．
〖解答〗解：（1）设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，等比数列$\{b_{n}\}$的公比为$q$，
由$a_{1}=2$，$b_{1}=1$，$a_{2}=b_{1}+b_{2}$，$a_{4}=b_{3}-b_{1}$，得$\left\{\begin{array}{l}2+d=1+q\\ 2+3d=q^2-1\end{array}\right.$，
解得$q=3$，$d=2(q=0$舍去），故$a_{n}=2n$，$b_{n}=3^{n-1}$．
（2）$(i)$由（1）知$a_{n}$为偶数，$b_{n}$为奇数，故两数列无公共项，
集合$E_{3^n}$中元素个数为两数列中不大于$3^{n}$的项数之和．数列$\{a_{n}\}$中不大于$3^{n}$的项数为$\dfrac{3^n-1}{2}$，
数列$\{b_{n}\}$中不大于$3^{n}$的项数为$n+1$，故$c_{3^n}=\dfrac{3^n-1}{2}+n+1=\dfrac{1}{2}\cdot 3^n+n+\dfrac{1}{2}$．
$(ii)$当$3^{i-1}\leqslant m < 3^{i}(i\in N^{*})$时，$b_{n}$中不大于$m$的项数为$i$，
$a_{n}$中不大于$m$的项数为$\dfrac{m}{2}(m$为偶数）或$\dfrac{m-1}{2}(m$为奇数），
故${{c}_{m}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
i+\dfrac{m}{2}, & m \\
i+\dfrac{m-1}{2}, & m \\
\end{array} \right.$，则${{a}_{m}}{{c}_{m}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2im+{{m}^{2}}, & m \\
2im+m\left( m-1 \right), & m \\
\end{array} \right.$，
故${{(-1)}^{m}}{{a}_{m}}{{c}_{m}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2im+{{m}^{2}}, & m \\
-2im-m\left( m-1 \right), & m \\
\end{array} \right.$．
对区间$[3^{i-1}$，$3^{i})$内的项分组求和，每组含$2\cdot 3^{i-1}$项，其中奇数项、偶数项各$3^{i-1}$项，
每组和为$3^{i-1}(2i-2)+6\cdot 9^{i-1}$，对$i=1$，2，$\ldots$，$n$求和得：
$\text{(Tex translation failed)}$，
其中$\sum\limits_{i=1}^n3^{i-1}(2i+1)$用错位相减法计算，
令$S_{n}=\sum\limits_{i=1}^n(2i-1)3^{i-1}$，则$3S_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n}(2i-1)3^{i}$，
两式相减得$-2S_{n}=1+2(3+3^{2}+...+3^{n-1})-(2n-1)3^{n}$，
化简得$S_{n}=\dfrac{(2n-3)3^n+3}{2}$；$\sum\limits_{i=1}^n6\cdot 9^{i-1}=6\cdot \dfrac{9^n-1}{9-1}=\dfrac{3}{4}(9^{n}-1)$，
故总和为$\dfrac{(2n-3)3^n+3}{2}+\dfrac{3}{4}(9^n-1)=\dfrac{3^{2n+1}+(4n-6)3^n+3}{4}$．
〖点评〗本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与求和，集合的新定义，分组求和与错位相减法，属于难题．
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