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2026年高考数学上海春-20<-->返回列表
（18分）设$f(x)$是定义在$R$上的函数．定义性质$P$：若对任意$x_{1}$，$x_{2}\in R$，当$\vert x_{1}\vert < \vert x_{2}\vert$时，$f(x_{1}) < f(x_{2})$，则称函数$f(x)$具有“性质$P$”．
（1）判断函数$f(x)=e^{x}$是否具有“性质$P$”；
（2）若分段函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}ax,x\le 0\\ x+b,x > 0\end{array}\right.$具有“性质$P$”，求所有满足条件的实数$a$和$b$的解；
（3）已知$f(x)$的值域为$[0$，$1)$，且在$[0$，$+\infty )$上是严格增函数，证明：$f(x)$是偶函数的充要条件是：$f(x)$具有“性质$P$”．
〖答案〗（1）不具有性质$P$；
（2）$a=-1$，$b=0$；
（3）先证充分性：不妨设$0\leqslant \vert x_{1}\vert < \vert x_{2}\vert$，由于函数在$[0$，$+\infty )$上为严格增函数，
所以得$f(\vert x_{1}\vert ) < f(\vert x_{2}\vert )$，
又因为$f(-x_{1})=f(x_{1})=f(\vert x_{1}\vert )$且$f(-x_{2})=f(x_{2})=f(\vert x_{2}\vert )$，
所以得到$f(x_{1}) < f(x_{2})$，所以函数具有性质$P$，
再证必要性：利用反证法，假设函数不是偶函数，
则存在$x_{0} > 0$，使得$f(x_{0})\ne f(-x_{0})$，
不妨设$f(x_{0}) < f(-x_{0})$，由于函数在$[0$，$+\infty )$上为严格增函数，
则存在$a > x_{0}$，使得$f$（a）$\in (f(x_{0})$，$f(-x_{0}))$①，
因为$a > x_{0}$，所以$\vert a\vert > \vert -x_{0}\vert$，
由于函数具有性质$P$，所以得到$f$（a）$ > f(-x_{0})$②，
可见①②不能同时成立，所以矛盾，
原假设不成立，函数为偶函数，
当$f(x_{0}) > f(-x_{0})$时，同理可证，
综上所述：函数$f(x)$具有性质$P$的充要条件是$f(x)$为偶函数．
〖分析〗（1）根据性质$P$的条件即可；
（2）通过性质$P$的条件推导，即可得出满足要求的参数为$a=-1$，$b=0$；
（3）充分性：若$f(x)$是偶函数且在$[0$，$+\infty )$上严格递增，则$f(x)$具有性质$P$；必要性：若$f(x)$具有性质$P$，则$f(x)$必是偶函数，故$f(x)$具有性质$P$的充要条件是$f(x)$为偶函数．
〖解答〗解：（1）由于$\vert -1\vert < \vert -2\vert$，但$e^{-1} > e^{-2}$，
所以与性质$P$矛盾，所以$e^{x}$不具有性质$P$；
（2）不妨任取$x_{1}$，$x_{2}$，使得$x_{2} > x_{1}\geqslant 0\geqslant -x_{1} > -x_{2}$，
根据性质$P$得到：$-ax_{2} > -ax_{1}$，所以得到$a < 0$；
$-ax_{2} > x_{1}+b$，所以得到$b < -x_{1}-ax_{2}$①；
$x_{2}+b > -ax_{1}$，所以得到$b > -x_{2}-ax_{1}$②；
联立①②得：$-x_{2}-ax_{1} < b < -x_{1}-ax_{2}$，
由于$x_{1}\ne x_{2}$的任意性，取$x_{1}=0$，得到$-x_{2} < b < -ax_{2}$，所以$b=0$；
于是①化简为$-ax_{2} > x_{1}$，推理得$-ax_{1}\geqslant x_{1}\Rightarrow a\leqslant -1$；
于是②化简为$-\dfrac{x_{2}}{a} > x_{1}$，推理得$-\dfrac{x_{1}}{a}\ge x_{1}\Rightarrow a\ge -1$；
所以$a=-1$，
综上可得：$a=-1$，$b=0$；
（3）先证充分性：不妨设$0\leqslant \vert x_{1}\vert < \vert x_{2}\vert$，由于函数在$[0$，$+\infty )$上为严格增函数，
所以得$f(\vert x_{1}\vert ) < f(\vert x_{2}\vert )$，
又因为$f(-x_{1})=f(x_{1})=f(\vert x_{1}\vert )$且$f(-x_{2})=f(x_{2})=f(\vert x_{2}\vert )$，
所以得到$f(x_{1}) < f(x_{2})$，所以函数具有性质$P$，
再证必要性：利用反证法，假设函数不是偶函数，
则存在$x_{0} > 0$，使得$f(x_{0})\ne f(-x_{0})$，
不妨设$f(x_{0}) < f(-x_{0})$，由于函数在$[0$，$+\infty )$上为严格增函数，
则存在$a > x_{0}$，使得$f$（a）$\in (f(x_{0})$，$f(-x_{0}))$①，
因为$a > x_{0}$，所以$\vert a\vert > \vert -x_{0}\vert$，
由于函数具有性质$P$，所以得到$f$（a）$ > f(-x_{0})$②，
可见①②不能同时成立，所以矛盾，
原假设不成立，函数为偶函数，
当$f(x_{0}) > f(-x_{0})$时，同理可证，
综上所述：函数$f(x)$具有性质$P$的充要条件是$f(x)$为偶函数．
〖点评〗本题考查分段函数的应用与函数恒成立问题，属于中档题．
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