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2026年高考数学上海春-18<-->2025年高考数学上海春-20
（14分）已知函数$f(x)=\sin (\omega x+\varphi )(\omega > 0$，$0 < \varphi < \pi )$．
（1）当$\omega =2$，$f(\dfrac{\pi }{12})=0$，求函数$f(x)$在$x=0$处的切线方程；
（2）若函数$f(x)$的最小正周期为$3\pi$，且$f(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$在$x\in [0$，$2026\pi )$上恰好有1351个解，求$\varphi$的取值范围．
〖答案〗（1）$2\sqrt{3}x+2y-1=0$．
（2）$(0$，$\dfrac{\pi }{12}]\bigcup (\dfrac{\pi }{4}$，$\dfrac{3\pi }{4}]$．
〖分析〗（1）根据已知条件求得$f(x)=\sin (2x+\dfrac{5\pi }{6})$，再结合导数的几何意义，求切线方程即可；
（2）由正弦函数的周期性可得$f(x)=\sin (\dfrac{2}{3}x+\varphi )$，再结合正弦函数的图象与零点，求解即可．
〖解答〗解：（1）当$\omega =2$时，$f(x)=\sin (2x+\varphi )$，
因为$f(\dfrac{\pi }{12})=0$，
所以$\sin (\dfrac{\pi }{6}+\varphi )=0$，即$\dfrac{\pi }{6}+\varphi =k\pi$，$k\in Z$，
所以$\varphi =k\pi -\dfrac{\pi }{6}$，$k\in Z$，
因为$0 < \varphi < \pi$，所以$\varphi =\dfrac{5\pi }{6}$，
所以$f(x)=\sin (2x+\dfrac{5\pi }{6})$，
所以$f'(x)=2\cos (2x+\dfrac{5\pi }{6})$，
所以$f'(0)=2\cos \dfrac{5\pi }{6}=-\sqrt{3}$，$f(0)=\sin \dfrac{5\pi }{6}=\dfrac{1}{2}$，
故函数$f(x)$在$x=0$处的切线方程为$y-\dfrac{1}{2}=-\sqrt{3}(x-0)$，即$2\sqrt{3}x+2y-1=0$．
（2）因为$f(x)$的最小正周期为$3\pi$，
所以$\omega =\dfrac{2\pi }{3\pi }=\dfrac{2}{3}$，
所以$f(x)=\sin (\dfrac{2}{3}x+\varphi )$，
因为$f(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$在$[\pi$，$4\pi )$，$[4\pi$，$7\pi )$，$[7\pi$，$10\pi )$，$\ldots$，$[2023\pi$，$2026\pi )$上各自恰有2个解，
所以$f(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$在$[\pi$，$2026\pi )$上恰有$675\times 2=1350$个解，
所以$f(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$在$[0$，$\pi )$恰有1个解，
当$x\in [0$，$\pi )$ 时，$\dfrac{2}{3}x+\varphi \in [\varphi ,\varphi +\dfrac{2\pi }{3})$，
因为$0 < \varphi < \pi$，
所以若$\varphi \le \dfrac{\pi }{4}$，则$\varphi +\dfrac{2\pi }{3}\le \dfrac{3\pi }{4}\Rightarrow 0 < \varphi \le \dfrac{\pi }{12}$；
若$\dfrac{\pi }{4} < \varphi < \pi$，则$\varphi \le \dfrac{3\pi }{4} < \varphi +\dfrac{2\pi }{3}\le \dfrac{9\pi }{4}\Rightarrow \dfrac{\pi }{4} < \varphi \le \dfrac{3\pi }{4}$，
综上，$\varphi \in (0,\dfrac{\pi }{12}]\bigcup (\dfrac{\pi }{4},\dfrac{3\pi }{4}]$．
〖点评〗本题考查切线方程的求法与正弦函数的图象与性质，熟练掌握导数的几何意义，正弦函数的周期性，函数的零点与方程根之间的关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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