2025年高考数学新高考Ⅱ-16（15分）已知椭圆$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > b > 0)$的离心率为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，长轴长为4．
（1）求$C$的方程；
（2）过点$(0,-2)$的直线$l$与椭圆$C$交于$A$，$B$两点，$O$为坐标原点．若△$OAB$的面积为$\sqrt{2}$，求$\vert AB\vert$．【答案详解】 |
2025年高考数学新高考Ⅱ-17（15分）如图，四边形$ABCD$中，$AB//CD$，$\angle DAB=90^\circ$，$F$为$CD$中点，点$E$在$AB$上，$EF//AD$，$AB=3AD$，$CD=2AD$．将四边形$EFDA$沿$EF$翻折至四边形$EFD\prime A\prime$，使得面$EFD\prime A\prime$与面$EFCB$所成的二面角为$60^\circ$．
（1）证明：$A\prime B//$平面$CD\prime F$；
（2）求面$BCD\prime$与面$EFD\prime A\prime$所成二面角的正弦值．
【答案详解】 |
2025年高考数学新高考Ⅱ-18（17分）已知函数$f(x)=\ln (1+x)-x+\dfrac{1}{2}x^{2}-kx^{3}$，其中$0 < k < \dfrac{1}{3}$．
（1）证明：$f(x)$在$(0,+\infty )$存在唯一的极值点和唯一的零点；
（2）设$x_{1}$，$x_{2}$为$f(x)$在$(0,+\infty )$的极值点和零点，
$(i)$设$g(t)=f(x_{1}+t)-f(x_{1}-t)$，证明：$g(t)$在$(0,x_{1})$单调递减；
$(ii)$比较$2x_{1}$与$x_{2}$的大小，并证明你的结论．【答案详解】 |
2025年高考数学新高考Ⅱ-19（17分）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜概率为$p(\dfrac{1}{2} < p < 1)$，乙胜概率为$q$，$p+q=1$，且各球胜负独立．对正整数$k\geqslant 2$，记$p_{k}$为打完$k$个球后甲比乙至少多得2分的概率，$q_{k}$为打完$k$个球后乙比甲至少多得2分的概率．
（1）求$p_{3}$，$p_{4}$（用$p$表示）；
（2）若$\dfrac{{p}_{4}-{p}_{3}}{{q}_{4}-{q}_{3}}=4$，求$p$；
（3）证明：对任意正整数$m$，$p_{2m+1}-q_{2m+1} < p_{2m}-q_{2m} < p_{2m+2}-q_{2m+2}$．【答案详解】 |
