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2025年高考数学上海-20<-->返回列表
（18分）已知函数$y=f(x)$的定义域为$R$．对于正实数$a$，定义集合$M_{a}=\{x\vert f(x+a)=f(x)\}$．
（1）若$f(x)=\sin x$，判断$\dfrac{\pi }{3}$是否是$M_{\pi }$中的元素，并说明理由；
（2）若$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+2,&x < 0\\ \sqrt{x},&x\ge 0\end{array}\right.$，$M_{a}\ne \O$，求$a$的取值范围；
（3）设$y=f(x)$是偶函数，当$x\in (0$，$1]$时，$f(x)=1-x$，且对任意$a\in (0,2)$，均有$M_{a}\subseteq M_{2}$．写出$y=f(x)$，$x\in (1,2)$的解析式，并证明：对任意实数$c$，函数$y=f(x)-c$在$[-3$，$3]$上至多有9个零点．
〖答案〗（1）$\dfrac{\pi }{3}$不属于$M_{\pi }$，理由见解答．
（2）$a\in [\dfrac{7}{4},4)$．
（3）$x\in (1,2)$时，$f(x)=x-1$；证明见解答．
〖分析〗（1）结合集合$M_{a}$的定义判断即可．
（2）结合已知推导出存在$x_{0}$，满足$f(x_{0}+a)=f(x_{0})$，设$f(x_{0}+a)=f(x_{0})=m$，可得所以$f(x)$与$y=m$至少有两个交点，由函数图象得出$a$与$m$表达式，求出$a$的最大值和最小值即可．
（3）结合已知推导出当$a\in (0,2)$时，若$f(x+a)=f(x)$，则必有$f(x+2)=f(x)$，那么再结合偶函数的性质，先得出当$x\in (-1,0)$时，$f(x)=x+1$，进而结合等式关系$f(x+2)=f(x)$推导出$x\in (1,2)$时，$f(x)=x-1$，进而判断零点个数即可．
〖解答〗解：（1）由题意，$M_{\pi }=\{x\vert f(x+\pi )=f(x)$，$x\in R\}$，当$x=\dfrac{\pi }{3}$时，$f(\dfrac{4\pi }{3})=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
$f(\dfrac{\pi }{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ne f(\dfrac{4\pi }{3})$，故$\dfrac{\pi }{3}$不属于$M_{\pi }$．
（2）根据$M_{a}\ne \varnothing$可得，存在$x_{0}$，满足$f(x_{0}+a)=f(x_{0})$，
设$f(x_{0}+a)=f(x_{0})=m$，所以$f(x)$与$y=m$至少有两个交点，
当$x < 0$，$f(x)$单调递增，$f(x)\in (-\infty$，$2)$，
当$x > 0$，$f(x)$单调递增，$f(x)\in [0$，$+\infty )$，
当$m\in [0$，$2)$时，$f(x)$与$y=m$有两个交点，
此时$x_{0}+a > 0$，$x_{0} < 0$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}+2=m}\\ {\sqrt{{x}_{0}+a}=m}\end{array}\right.$，可得$a=m^{2}-x_{0}=m^{2}-m+2=(m-\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{7}{4}$，
因为$m\in [0$，$2)$，所以$a\in [\dfrac{7}{4},4)$．
（3）由题意，当$a\in (0,2)$时，若$f(x+a)=f(x)$，则必有$f(x+2)=f(x)$，
由$f(x)$为偶函数，故当$x\in (-1,0)$时，易得$f(x)=x+1$，
任取$x_{0}\in (-1,0)$，则必有$-x_{0}\in (0,1)$使$f(-x_{0})=f(x_{0})$，
即满足$a\in (0,2)$时，任意的$x_{0}\in (-1,0)$，皆满足$f(x+a)=f(x)$，
即任意的$x_{0}\in (-1,0)$，$f(x+2)=f(x)$，
故$x\in (1,2)$时，易得$f(x)=x-1$；
同理可得当$x\in (2$，$3]$时，$f(x)=-x+3$，
由$f(x)$为偶函数，易得$x\in [-3$，$-2)$时，$f(x)=x+3$，$x\in (-2$，$-1]$时，$f(x)=-x-1$，
由$f(-2)$，$f(0)$，$f$（2）仅有$f(-2)=f$（2）的限制，函数值可任取，
故当$c\in (0,1)$时，$y=f(x)-c$在$[-3$，$3]$内可最多取$6+3=9$个零点，
故对任意的实数$C$，函数$y=f(x)-c$在$[-3$，$3]$上至多有9个零点．
〖点评〗本题考查函数零点与方程根的综合应用，属于难题．
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