|
2025年高考数学上海-11<-->2025年高考数学上海-13
（5分）已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1,&x > 0\\ 0,&x=0\\ -1,&x < 0\end{array}\right.$，$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$是平面内三个不同的单位向量．若$f(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})+f(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})+f(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a})=0$，则$\vert \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\vert$的取值范围是____．
〖答案〗$(1,\sqrt{5})$．
〖分析〗由题可得$f(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}),f(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}),f(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c})$必为一个为1，一个为$-1$，一个为0，不妨设$f(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})=0,f(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})=-1f(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c})=1$，且$\overrightarrow{a}=(1,0)$，$\overrightarrow{b}=(0,1)$，$\overrightarrow{c}=(\cos \theta ,\sin \theta )$，$\theta \in (-\pi ,\pi )$，由分段函数可得$\theta \in (-\dfrac{\pi }{2},0)$，再由向量模的坐标运算化简后求三角函数的值域即可．
〖解答〗解：由题意可知，$f(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}),f(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}),f(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c})$三者全为0或一个为1，一个为$-1$，一个为0，
当全为0时，可知$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$两两垂直，不符合题意；
所以必为一个为1，一个为$-1$，一个为0，不妨设$f(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})=0,f(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})=-1$，$f(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})=1$，
由函数$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1,&x > 0\\ 0,&x=0\\ -1,&x < 0\end{array}\right.$，可知$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c} < 0,\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c} > 0,\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$，
不妨设$\overrightarrow{a}=(1,0)$，$\overrightarrow{b}=(0,1)$，$\overrightarrow{c}=(\cos \theta ,\sin \theta )$，$\theta \in (-\pi$，$\pi ]$，
所以$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\cos \theta > 0$，$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\sin \theta < 0$，所以$\theta \in (-\dfrac{\pi }{2},0)$，
所以$\vert \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\vert =\sqrt{{(1+\cos \theta )}^{2}+{(1+\sin \theta )}^{2}}=\sqrt{3+2\sqrt{2}\sin (\theta +\dfrac{\pi }{4})}$，
因为$\theta \in (-\dfrac{\pi }{2},0)$，所以$\theta +\dfrac{\pi }{4}\in (-\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4})$，所以$2\sqrt{2}\sin (\theta +\dfrac{\pi }{4})\in (-2,2)$，
所以$\vert \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\vert \in (1,\sqrt{5})$．
故答案为：$(1,\sqrt{5})$．
〖点评〗本题考查平面向量的数量积与函数的综合，向量模的求解，属于中档题．
2025年高考数学上海-11<-->2025年高考数学上海-13
全网搜索"2025年高考数学上海-12"相关
|
