2025年北京

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2025年高考数学北京-1（4分）已知集合$M=\{x\vert 2x-1 > 5\}$，$N=\{1，2，3\}$，则$M\bigcap N=$（　　）
A．$\{1，2，3\}$ B．$\{2，3\}$ C．$\{3\}$ D．$\varnothing$【答案详解】

2025年高考数学北京-2（4分）已知复数$z$满足$i\cdot z+2=2i$，则$\vert z\vert =$（　　）
A．$\sqrt{2}$ B．$2\sqrt{2}$ C．4 D．8【答案详解】

2025年高考数学北京-3（4分）双曲线$x^{2}-4y^{2}=4$的离心率为（　　）
A．$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ B．$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ C．$\dfrac{5}{4}$ D．$\sqrt{5}$【答案详解】

2025年高考数学北京-4（4分）为得到函数$y=9^{x}$的图象，只需把函数$y=3^{x}$的图象上的所有点（　　）
A．横坐标变成原来的$\dfrac{1}{2}$倍（纵坐标不变）
B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变成原来的$\dfrac{1}{3}$倍（横坐标不变）
D．纵坐标变成原来的3倍（横坐标不变）【答案详解】

2025年高考数学北京-5（4分）已知$\{a_{n}\}$是公差不为零的等差数列，$a_{1}=-2$，若$a_{3}$，$a_{4}$，$a_{6}$成等比数列，则$a_{10}=$（　　）
A．$-20$ B．$-18$ C．16 D．18【答案详解】

2025年高考数学北京-6（4分）已知$a > 0$，$b > 0$，则（　　）
A．$a^{2}+b^{2} > 2ab$ B．$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geqslant \dfrac{1}{ab}$ C．$a+b > \sqrt{ab}$ D．$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\leqslant \dfrac{2}{\sqrt{ab}}$【答案详解】

2025年高考数学北京-7（4分）已知函数$f(x)$的定义域为$D$，则“$f(x)$的值域为$R$”是“对任意$M\in R$，存在$x_{0}\in D$，使得$\vert f(x_{0})\vert > M$”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案详解】

2025年高考数学北京-8（4分）设函数$f(x)=\sin (\omega x)+\cos (\omega x)(\omega > 0)$．若$f(x+\pi )=f(x)$恒成立，且$f(x)$在$[0$，$\dfrac{\pi }{4}]$上存在零点，则$\omega$的最小值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．3【答案详解】

2025年高考数学北京-9（4分）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练$N$个单位的数据量所需要时间$T=k\log _{2}N$（单位：$h)$，其中$k$为常数．在此条件下，已知训练数据量$N$从$10^{6}$个单位增加到$1.024\times 10^{9}$个单位时，训练时间增加$20h$；当训练数据量$N$从$1.024\times 10^{9}$个单位增加到$4.096\times 10^{9}$个单位时，训练时间增加（　　）
A．$2h$ B．$4h$ C．$20h$ D．$40h$【答案详解】

2025年高考数学北京-10（4分）已知平面直角坐标系$xOy$中，$\vert \overrightarrow{OA}\vert =\vert \overrightarrow{OB}\vert =\sqrt{2}$，$\vert \overrightarrow{AB}\vert =2$．设$C(3,4)$，则$\vert 2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\vert$的取值范围是（　　）
A．$[6，14]$ B．$[6，12]$ C．$[8，14]$ D．$[8，12]$【答案详解】

2025年高考数学北京-11（5分）已知抛物线$y^{2}=2px(p > 0)$的顶点到焦点的距离为3，则$p=$____．【答案详解】

2025年高考数学北京-12（5分）已知$(1-2x)^{4}=a_{0}-2a_{1}x+4a_{2}x^{2}-8a_{3}x^{3}+16a_{4}x^{4}$，则$a_{0}=$____；$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=$____ ．【答案详解】

2025年高考数学北京-13（5分）已知$\alpha$，$\beta \in [0$，$2\pi ]$，且$\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha -\beta )$，$\cos (\alpha +\beta )\ne \cos (\alpha -\beta )$，写出满足条件的一组$\alpha =$____，$\beta =$____．【答案详解】

2025年高考数学北京-14（5分）某科技兴趣小组使用$3D$打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中$ABCDEF$是一个平面多边形，平面$AFR\bot$平面$ABC$，平面$CDT\bot$平面$ABC$，$AB\bot BC$，$AB//EF//RS//CD$，$BC//DE//ST//AF$．若$AB=BC=8$，$AF=CD=4$，$AR=RF=TC=TD=\dfrac{5}{2}$，则该多面体的体积为____．

【答案详解】

2025年高考数学北京-15（5分）关于定义域为$R$的函数$f(x)$，给出下列四个结论：
①存在在$R$上单调递增的函数$f(x)$使得$f(x)+f(2x)=-x$恒成立；
②存在在$R$上单调递减的函数$f(x)$使得$f(x)-f(2x)=x$恒成立；
③使得$f(x)+f(-x)=\cos x$恒成立的函数$f(x)$存在且有无穷多个；
④使得$f(x)-f(-x)=\cos x$恒成立的函数$f(x)$存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是　②③　．【答案详解】

2025年高考数学北京-16（10分）在△$ABC$中，$\cos A=-\dfrac{1}{3}$，$a\sin C=4\sqrt{2}$．
（1）求$c$的值；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△$ABC$存在，求$BC$边上的高．
条件①：$a=6$；条件②：$a\sin B=\dfrac{10\sqrt{2}}{3}$；条件③：△$ABC$面积为$10\sqrt{2}$．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案详解】

2025年高考数学北京-17（15分）如图，在四棱锥$P-ABCD$中，△$ADC$与△$BAC$均为等腰直角三角形，$\angle ADC=90^\circ$，$\angle BAC=90^\circ$，$E$为$BC$的中点．
（1）若$F$，$G$分别为$PD$，$PE$的中点，求证：$FG//$平面$PAB$；
（2）若$PA\bot$平面$ABCD$，$PA=AC$，求直线$AB$与平面$PCD$所成角的正弦值．

【答案详解】

2025年高考数学北京-18（15分）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．
假设学生之间答题相互独立．用频率估计概率．
（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率$p$；
（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名．设$X$为这2名学生中该题选择正确的人数，估计$X=1$的概率及$X$的数学期望；
（3）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为$100%$，乙校学生选择正确的概率为$85%$．
设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为$p_{1}$，$p_{2}$，判断$p_{1}$与$p_{2}$的大小．（结论不要求证明）【答案详解】

2025年高考数学北京-19（15分）已知椭圆$E:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > b > 0)$的离心率为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆$E$上的点到两个焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆$E$的方程；
（2）设$O$为原点，$M(x_{0}$，$y_{0})(x_{0}\ne 0)$在椭圆$E$上，直线$x_{0}x+2y_{0}y-4=0$与$y=2$和$y=-2$分别交于$A$，$B$两点．设△$OAM$和△$OBM$的面积分别为$S_{1}$和$S_{2}$，比较$\dfrac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$与$\dfrac{\vert OA\vert }{\vert OB\vert }$的大小．【答案详解】

2025年高考数学北京-20（15分）已知函数$f(x)$的定义域为$(-1,+\infty )$，且$f(0)=0$，$f\prime (x)=\dfrac{\ln (1+x)}{1+x}$．$l_{1}$是曲线$y=f(x)$在点$A(a$，$f$（a）$)(a\ne 0)$处的切线．
（1）求$f\prime (x)$的最大值；
（2）求证：当$-1 < a < 0$时，除切点$A$外，曲线$y=f(x)$在直线$l_{1}$的上方；
（3）设过点$A$的直线$l_{2}$与直线$l_{1}$垂直，$l_{1}$，$l_{2}$与$x$轴交点的横坐标分别为$x_{1}$，$x_{2}$，若$a > 0$，求$\dfrac{2a-{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$的取值范围．【答案详解】

2025年高考数学北京-21（15分）已知集合$A=\{1$，2，3，4，5，6，7，$8\}$，$M=\{(x,y)\vert x\in A$，$y\in A\}$．从$M$中选取$n$个不同的元素组成一个序列：$(x_{1}$，$y_{1})$，$(x_{2}$，$y_{2})$，$\ldots$，$(x_{n}$，$y_{n})$，其中$(x_{i}$，$y_{i})$称为该序列的第$i$项$(i=1$，2，$\ldots$，$n)$，若该序列的相邻项$(x_{i}$，$y_{i})$，$(x_{i+1}$，$y_{i+1})$满足：$\left\{\begin{array}{l}\left\vert {x}_{i+1}-{x}_{i}\right\vert =3\\ \left\vert {y}_{i+1}-{y}_{i}\right\vert =4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\left\vert {x}_{i+1}-{x}_{i}\right\vert =4\\ \left\vert {y}_{i+1}-{y}_{i}\right\vert =3\end{array}\right.(i=1$，2，$\ldots$，$n-1)$，则称该序列为$K$列．
（1）对于第1项为$(3,3)$的$K$列，写出它的第2项．
（2）若$\Gamma$为$K$列，且$\Gamma$中的项$(x_{i}$，$y_{i})(i=1$，2，$\ldots$，$n)$满足：当$i$为奇数时，$x_{i}\in \{1$，2，7，$8\}$；当$i$为偶数时，$x_{i}\in \{3$，4，5，$6\}$．判断$(3,2)$，$(4,4)$能否同时为$\Gamma$中的项，并说明理由；
（3）证明：由$M$的全部元素组成的序列都不是$K$列．【答案详解】

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