（18分）已知双曲线$\Gamma :\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{y^{2}}{2}=1$，过点$M(m,0)$作不垂直于$x$轴的直线$l$交双曲线$\Gamma$于$A$、$B$两点．
（1）求双曲线离心率；
（2）若点$A(\sqrt{3},1)$，点$B$在双曲线的右支上，且$B$是$AM$的中点，求直线$l$的斜率；
（3）若$m > 0$，$F_{1}$，$F_{2}$分别是双曲线$\Gamma$的左右焦点，$A\prime$是$A$关于$y$轴的对称点，若存在直线$l$使得$\overrightarrow{F_{1}A\prime }\cdot \overrightarrow{F_{2}B}=0$，求$m$的取值范围．
〖答案〗（1）$\sqrt{2}$．
（2）$\dfrac{2\sqrt{3}+3}{3}$．
（3）$(\dfrac{4}{3}$，$2)\bigcup (2$，$+\infty )$．
〖分析〗（1）根据双曲线的方程与离心率的计算公式，即可得解；
（2）利用中点坐标公式写出点$B$的坐标，代入双曲线的方程，并结合$m$的取值范围，求得$m$的值，再根据斜率的计算公式，求解即可；
（3）设过点$M(m,0)$的直线$l:x=ty+m(t\ne 0)$，将其与双曲线方程联立，结合向量数量积的坐标运算与韦达定理，求解即可．
〖解答〗解：（1）由题意知，$a^{2}=b^{2}=2$，
所以离心率$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$．
（2）因为$M(m,0)$，$A(\sqrt{3},1)$，$B$为线段$AM$中点，
所以$B(\dfrac{m+\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2})$，
又$B$在$\Gamma$右支上，代入$\Gamma$得$\dfrac{(m+\sqrt{3})^{2}}{4}-\dfrac{1}{4}=2$，且$\dfrac{m+\sqrt{3}}{2}\ge \sqrt{2}$，解得$m=3-\sqrt{3}$，
所以直线$l$斜率$k=k_{AM}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-m}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-3+\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}+3}{3}$．
（3）由双曲线$\Gamma :\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{y^{2}}{2}=1$知，$F_{1}(-2,0)$、$F_{2}(2,0)$，
设$A(x_{1}$，$y_{1})$，$B(x_{2}$，$y_{2})$，则$A'(-x_{1}$，$y_{1})$，
设过点$M(m,0)$的直线$l:x=ty+m(t\ne 0)$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\ {{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去$x$得，$(t^{2}-1)y^{2}+2mty+m^{2}-2=0$，显然$t^{2}-1\ne 0$，即$t^{2}\ne 1$，
由韦达定理得$y_{1}+y_{2}=\dfrac{-2mt}{t^{2}-1}$，$y_{1}y_{2}=\dfrac{{m}^{2}-2}{{t}^{2}-1}$，其中△$=(2mt)^{2}-4(t^{2}-1)(m^{2}-2)=4(2t^{2}+m^{2}-2) > 0$，即$2t^{2}+m^{2}-2) > 0$①，
所以$\overrightarrow{{F}_{1}A'}\cdot \overrightarrow{{F}_{2}B}=(-x_{1}+2$，$y_{1})\cdot (x_{2}-2$，$y_{2})=(-x_{1}+2)(x_{2}-2)+y_{1}y_{2}$
$=(-ty_{1}+2-m)(ty_{2}+m-2)+y_{1}y_{2}$
$=(1-t^{2})y_{1}y_{2}-t(m-2)(y_{1}+y_{2})-(m-2)^{2}$
$=(1-t^{2})\cdot \dfrac{{m}^{2}-2}{{t}^{2}-1}-t(m-2)\cdot \dfrac{-2mt}{{t}^{2}-1}-(m-2)^{2}=0$，
整理得$t^{2}=(m-1)^{2}\ne 1$②，
由①②解得$m > \dfrac{4}{3}$且$m\ne 2$，
所以实数$m$的取值范围为$(\dfrac{4}{3}$，$2)\bigcup (2$，$+\infty )$．
〖点评〗本题考查直线与双曲线的综合，熟练掌握双曲线的几何性质，向量数量积的坐标运算，灵活运用韦达定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．