（14分）如图所示正四棱台$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，其中$AB=4$，$A_{1}B_{1}=2$．
（1）当$AA_{1}=2$时，求$AA_{1}$和平面$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$所成角；
（2）证明：$AA_{1}//$平面$BC_{1}D$；若棱台高为3，求三棱锥$A_{1}-BC_{1}D$的体积．

〖答案〗（1）$45^\circ$；
（2）证明：连接$AC$、$BD$交于$O$，连接$A_{1}C_{1}$．$B_{1}D_{1}$交于$O_{1}$，
如图，上下底面为正方形，由正棱台性质，可得$A_{1}C_{1}//AC$，且$A_{1}C_{1}=2\sqrt{2}$，$AC=4\sqrt{2}$，$AO=\dfrac{1}{2}AC=A_{1}C_{1}$，
所以四边形$A_{1}C_{1}O_{A}$为平行四边形，所以$AA_{1}//OC_{1}$，
因为$AA_{1}\not\subset$平面$BC_{1}D$，$OC_{1}\subset$平面$BC_{1}D$，所以$AA_{1}$平面$BC_{1}D$，
由正棱台性质$OO_{1}$与上下底面均垂直，则$OO_{1}=3$，
因为$OO_{1}\bot BD$，$AC\bot BD$，$AC\bigcap OO_{1}=OAC$，$OO_{1}\subset$平面$A_{1}OC_{1}$，
所以$BD\bot$平面$A_{1}OC_{1}$，所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和，
即$V_{A_{1}-BC_{1}D}=V_{B-A_{1}OC_{1}}+V_{D-A_{1}OC_{1}}=\dfrac{1}{3}OB\cdot S_{\triangle A_{1}OC_{1}}+\dfrac{1}{3}OD\cdot S_{\triangle A_{1}OC_{1}}$
$=\dfrac{1}{3}BD\cdot S_{\triangle A_{1}OC_{1}}=\dfrac{1}{3}\times 4\sqrt{2}\times \dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 3=8$．

〖分析〗（1）作$A_{1}$到下底面的垂线，确定线面角的平面角，再通过边长计算该角的大小；
（2）连接上下底面对角线的交点，利用正棱台性质证得线线平行，进而证明线面平行；利用线面垂直将三棱锥拆分为两个小棱锥，结合棱台的高计算其体积．
〖解答〗解：（1）过$A_{1}$作$A_{1}H\bot$平面于$H$，连接$AH$，
过$H$分别作$HE\bot AB$于$E$，$HF\bot AD$于$F$，连接$A_{1}E$，$A_{1}F$，
如图$HE$为$A_{1}E$在平面$ABCD$上的投影，

由于$AB\subset$平面$ABCD$，所以$A_{1}H\bot AB$，
由于$A_{1}H\bigcap HE=H$，$A_{1}H$，$HE\subset$平面$A_{1}HE$，
所以$AB\bot$平面$A_{1}HE$，由于$A_{1}E\subset$平面$A_{1}HE$，所以$A_{1}E\bot AB$，
所以$AE=\dfrac{4-2}{2}=1$，同理$AF\bot AD$，$AF=1$，四边形$AEHF$为正方形，
所以$AH=\sqrt{2}$，$AH$为$A_{1}A$在平面$ABCD$上的投影，
又因平面$ABCD//$平面$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，
所以$AA_{1}$和平面$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$所成角即$\angle A_{1}AH$，$\cos \angle A_{1}AH=\dfrac{AH}{AA_{1}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
故$AA_{1}$和平面$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$所成角为$45^\circ$；

（2）证明：连接$AC$、$BD$交于$O$，连接$A_{1}C_{1}$．$B_{1}D_{1}$交于$O_{1}$，

如图，上下底面为正方形，由正棱台性质，可得$A_{1}C_{1}//AC$，且$A_{1}C_{1}=2\sqrt{2}$，$AC=4\sqrt{2}$，$AO=\dfrac{1}{2}AC=A_{1}C_{1}$，
所以四边形$A_{1}C_{1}O_{A}$为平行四边形，所以$AA_{1}//OC_{1}$，
因为$AA_{1}\not\subset$平面$BC_{1}D$，$OC_{1}\subset$平面$BC_{1}D$，所以$AA_{1}$平面$BC_{1}D$，
由正棱台性质$OO_{1}$与上下底面均垂直，则$OO_{1}=3$，
因为$OO_{1}\bot BD$，$AC\bot BD$，$AC\bigcap OO_{1}=OAC$，$OO_{1}\subset$平面$A_{1}OC_{1}$，
所以$BD\bot$平面$A_{1}OC_{1}$，所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和，
即$V_{A_{1}-BC_{1}D}=V_{B-A_{1}OC_{1}}+V_{D-A_{1}OC_{1}}=\dfrac{1}{3}OB\cdot S_{\triangle A_{1}OC_{1}}+\dfrac{1}{3}OD\cdot S_{\triangle A_{1}OC_{1}}$
$=\dfrac{1}{3}BD\cdot S_{\triangle A_{1}OC_{1}}=\dfrac{1}{3}\times 4\sqrt{2}\times \dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 3=8$．

〖点评〗本题考查空间向量法求解线面角与棱锥的体积，属于中档题．