（5分）有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径6.4厘米，壶身高16厘米，壶内油液面高12.1厘米，壶嘴长13.4厘米，与壶身夹角为$30^\circ$，壶嘴最低点距壶底3厘米，将壶身向壶嘴方向至少转$14.2^\circ$ 度可使油倒出（精确到$0.01^\circ )$

〖答案〗$14.2^\circ$．
〖分析〗根据题意，结合条件分别表示出$EG$，$EF$，然后在△$EGF$中，由正弦定理代入计算，即可得到结果．
〖解答〗解：设壶嘴最低点，最高点分别是$E$，$F$，
图中圆柱轴截面矩形，距离点$E$最近的顶点是点$A$，另外三个顶点分别为$B$，$C$，$D$，
当水平液面经过点$F$时，可将油倒出，
设倾斜角为$\theta$，当液面经过点$D$时，$\theta =\arctan \dfrac{3.9}{6.4}\approx 31.36^\circ$，
先考虑液面不超过点$D$，即$\theta \in [0,\arctan \dfrac{3.9}{6.4}]$的情况，

设液面与$AD$，$CB$分别交于点$G$，$H$，
设$GH$的中点为$M$，过$M$作$AD$的垂线，垂足为$N$，
则$MN=\dfrac{1}{2}AB=3.2$，$\angle GMN=\theta$，所以$GN=MN\tan \theta =3.2\tan \theta$，
因为$AN=12.1$，所以$GE=GN+AN-AE=3.2\tan \theta +9.1$，
因为$\angle EGF=\angle NMG+\angle MNG=90^\circ +\theta$，
所以$\angle F=180^\circ -\angle FEG-\angle EGF=60^\circ -\theta$，
在△$EGF$中，$\dfrac{EG}{\sin \angle F}=\dfrac{EF}{\sin \angle EGF}$，
即$\dfrac{3.2\tan \theta +9.1}{\sin (60^\circ +\theta )}=\dfrac{13.4}{\sin (90^\circ +\theta )}=\dfrac{13.4}{\cos \theta }$，
即$3.2\sin \theta +9.1\cos \theta =13.4\sin (60^\circ +\theta )=6.7\sqrt{3}\cos \theta -6.7\sin \theta$，
即$99\sin \theta =(67\sqrt{3}-91)\cos \theta$，所以$\tan \theta =\dfrac{67\sqrt{3}-91}{99}$，
即$\theta =\arctan \dfrac{67\sqrt{3}-91}{99}\approx 14.2^\circ$，
因为$14.2^\circ  < 31.36^\circ$，所以至少将油壶倾斜$14.2^\circ$即可将油倒出．
故答案为：$14.2^\circ$．

〖点评〗本题考查三角形中的几何计算，属于中档题．