（5分）已知$a^{2}+4b^{2}=1$，则$ab$的最大值为____．
〖答案〗$\dfrac{1}{4}$．
〖分析〗利用基本不等式得$1=a^{2}+4b^{2}\geqslant 4ab$，即可得到$ab$最大值．
〖解答〗解：因为实数$a$，$b$满足$a^{2}+4b^{2}=1$，
所以由基本不等式可得：$1=a^{2}+4b^{2}\geqslant 2a\times 2b$，
所以$ab\leqslant \dfrac{1}{4}$，当且仅当$a^{2}=4b^{2}=\dfrac{1}{2}$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\\ {b=\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\\ {b=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\end{array}\right.$时等号成立，
即$ab$的最大值为$\dfrac{1}{4}$．
故答案为：$\dfrac{1}{4}$．
〖点评〗本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．