（15分）在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB=2$，$AA_{1}=3$，$AD=4$，$A_{1}E=3ED_{1}$，$2C_{1}F=FC$．
（1）求证：$BD\bot$面$CEF$．
（2）求面$AEF$与面$CEF$的夹角的余弦值；
（3）求三棱锥$A-CEF$的体积．

〖答案〗（1）证明：如图，以$A$为坐标原点，$AB$为$x$轴，$AD$为$y$轴，$AA_{1}$为$z$轴，建立空间直角坐标系，

则$A(0$，0，$0)$，$B(2$，0，$0)$，$D(0$，4，$0)$，$C(2$，4，$0)$，$A_{1}(0$，0，$3)$，$B_{1}(2$，0，$3)$，
$D_{1}(0$，4，$3)$，$E(0$，3，$3)$，$F(2$，4，$2)$，
所以$\overrightarrow{BD}=(-2$，4，$0)$，$\overrightarrow{CE}=(-2$，$-1$，$3)$，$\overrightarrow{CF}=(0$，0，$2)$，
则$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CE}=(-2)\times (-2)+4\times (-1)+0\times 3=4-4=0$，$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CF}=(-2)\cdot 0+4\cdot 0+0\cdot 2=0$，
所以$BD\bot CE$，$BD\bot CF$，
又$CE$、$CF\subset$平面$CEF$，$CE\bigcap CF=C$，
所以$BD\bot$平面$CEF$．
（2）$\dfrac{\sqrt{15}}{5}$．
（3）2．
〖分析〗以$A$为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的应用求解即可．
〖解答〗解：（1）证明：如图，以$A$为坐标原点，$AB$为$x$轴，$AD$为$y$轴，$AA_{1}$为$z$轴，建立空间直角坐标系，

则$A(0$，0，$0)$，$B(2$，0，$0)$，$D(0$，4，$0)$，$C(2$，4，$0)$，$A_{1}(0$，0，$3)$，$B_{1}(2$，0，$3)$，
$D_{1}(0$，4，$3)$，$E(0$，3，$3)$，$F(2$，4，$2)$，
所以$\overrightarrow{BD}=(-2$，4，$0)$，$\overrightarrow{CE}=(-2$，$-1$，$3)$，$\overrightarrow{CF}=(0$，0，$2)$，
则$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CE}=(-2)\times (-2)+4\times (-1)+0\times 3=4-4=0$，$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CF}=(-2)\cdot 0+4\cdot 0+0\cdot 2=0$，
所以$BD\bot CE$，$BD\bot CF$，
又$CE$、$CF\subset$平面$CEF$，$CE\bigcap CF=C$，
所以$BD\bot$平面$CEF$．
（2）由（1）得平面$CEF$的一个法向量为$\overrightarrow{BD}=(-2$，4，$0)$，$\overrightarrow{AE}=(0$，3，$3)$，$\overrightarrow{AF}=(2$，4，$2)$，
设平面$AEF$的法向量为$\overrightarrow{n}=(a$，$b$，$c)$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AE}=3b+3c=0}\\ {\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AF\;}=2a+4b+2c=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b=-c}\\ {b=-a}\end{array}\right.$，
令$a=1$，则$\overrightarrow{n}=(1$，$-1$，$1)$，
设两平面夹角为$\theta$，则$\cos \theta =\vert \cos  < \overrightarrow{n},\overrightarrow{BD} >  \vert =\dfrac{\vert \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{BD}\vert }{\vert \overrightarrow{n}\vert \cdot \vert \overrightarrow{BD}\vert }=\dfrac{\vert 1\times (-2)+(-1)\times 4+1\times 0\vert }{\sqrt{3}\times 2\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$，
故平面$AEF$与平面$CEF$的夹角的余弦值为$\dfrac{\sqrt{15}}{5}$．
（3）因为$\overrightarrow{AC}=(2$，4，$0)$，所以点$A$到平面$CEF$的距离：$d=\dfrac{\vert \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}\vert }{\vert \overrightarrow{BD}\vert }=\dfrac{\vert -2\times 2+4\times 4\vert }{2\sqrt{5}}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$，
又$S_{\triangle CEF}=\dfrac{1}{2}\cdot \vert CF\vert \cdot h=\dfrac{1}{2}\times 2\times \sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$，
所以三棱锥$ACEF$的体积$V=\dfrac{1}{3}\cdot S_{\triangle CEF}\cdot d=\dfrac{1}{3}\times \sqrt{5}\times \dfrac{6\sqrt{5}}{5}=2$．
〖点评〗本题考查利用空间向量判断线面的位置关系，求二面角和空间距离，属于中档题．