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2026年高考数学新高考Ⅱ-9

  2026-10-10 17:45:14  

(6分)已知$\odot O:x^{2}+y^{2}=1$,$\odot A:x^{2}+y^{2}-6x-8y+k=0$,则(  )
A.点$A$的坐标为$(-3,-4)$              
B.当$k=9$时,$\odot A$与$x$轴相切              
C.当$k=-11$时,$\odot A$与$\odot O$相切              
D.当$\odot O$与$\odot A$相交时,两交点所在直线的方程是$6x+8y-k-2=0$
〖答案〗$BC$
〖分析〗根据题意,求出圆的圆心和半径,结合圆与圆的位置关系分析选项,即可得答案.
〖解答〗解:对于$A$,$\odot A$的方程可化为$(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=25-k$,圆心为$A(3,4)$,$A$错误;
对于$B$,$k=9$时,$\odot A$半径$r=4$,圆心$A$到$x$轴的距离为4,所以$\odot A$与$x$轴相切,$B$正确;
对于$C$,$k=-11$ 时,$\odot A$半径$r=6$,圆心距$d=\vert OA\vert =\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$,又$r-1=5$,所以两圆内切,$C$正确;
对于$D$,若$\odot O$与$\odot A$相交,两圆方程相减得$6x+8y-k-1=0$,
即当$\odot O$与$\odot A$相交时,两交点所在直线的方程是$6x+8y-k-1=0$,$D$错误.
故选:$BC$.
〖点评〗本题主要考查圆与圆的位置关系,属于基础题.

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