（17分）已知椭圆$C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的左焦点为$F(-1,0)$，离心率为$\dfrac{1}{2}$．
（1）求$C$的方程；
（2）设$O$为坐标原点，过$F$且斜率大于0的动直线$l$与$C$交于$P$，$Q$两点．其中$Q$在第三象限，直线$PO$与$C$的另一个交点为$R$．
$(i)$若△$PQR$的面积是△$PFO$的面积的3倍，求$l$的方程；
$(ii)$求$\tan \angle PQR$的最小值．
〖答案〗（1）$\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）$(i)\sqrt{5}x-2y+\sqrt{5}=0$；
$(ii)4\sqrt{3}$．
〖分析〗（1）根据已知条件求出$c$和$a$，然后求出$b$即可；
（2）$(i)$假设$PQ$的方程，根据对称性得出$PF$和$QF$的关系，然后根据坐标关系以及韦达定理求解即可；
$(ii)$求出$QR$的斜率，根据斜率与倾斜角以及正切的和差公式求解，最后根据基本不等式求解最小值即可．
〖解答〗解：（1）$\because F(-1,0)$，$e=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore c=1$，$a=2$，
$\therefore b^{2}=a^{2}-c^{2}=3$，
$\therefore C$的方程为：$\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设直线$l$的方程为：$y=k(x+1)(k > 0)$，$P(x_{1}$，$y_{1})$，$Q(x_{2}$，$y_{2})$，
联立直线$l$与椭圆$C:\left\{\begin{array}{l}{y=k(x+1)}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
整理得：$(3+4k^{2})x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$，
由韦达定理得：$x_{1}+x_{2}=\dfrac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$x_{1}x_{2}=\dfrac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由椭圆的对称性可知，$R$与$P$关于点$O$对称，
$\therefore R(-x_{1}$，$-y_{1})$，
$(i)\because OP=OR$，
$\therefore S_{\triangle PFR}=2S_{\triangle PFO}$，
$\because$△$PQR$的面积是△$PFO$的面积的3倍，
$\therefore$$\dfrac{{S}_{\triangle PQR}}{{S}_{\triangle PFR}}=\dfrac{3}{2}$，
$\therefore$$\dfrac{PF}{QF}=2$，
$\therefore$$\dfrac{{y}_{1}}{-{y}_{2}}=\dfrac{\vert {x}_{1}+1\vert }{\vert {x}_{2}+1\vert }=2$，
$\therefore y_{1}=-2y_{2}$，$(x_{1}+1)=-2(x_{2}+1)$，
$\therefore x_{1}=-2x_{2}-3$，
$\because x_{1}+x_{2}=\dfrac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
$\therefore x_{1}=\dfrac{9-4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$x_{2}=-\dfrac{9+4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
$\because x_{1}x_{2}=\dfrac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
$\therefore$$\dfrac{16{k}^{4}-81}{(3+4{k}^{2})^{2}}=\dfrac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
解得：$k^{2}=\dfrac{5}{4}$，
$\because k > 0$，
$\therefore k=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore$直线$l:y=\dfrac{\sqrt{5}}{2}(x+1)$，即$\sqrt{5}x-2y+\sqrt{5}=0$；
$(ii)k_{QR}=\dfrac{{y}_{2}-(-{y}_{1})}{{x}_{2}-(-{x}_{1})}=\dfrac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=\dfrac{k({x}_{1}+{x}_{2}+2)}{{x}_{1}+{x}_{2}}=k+\dfrac{2k}{{x}_{1}+{x}_{2}}=k+\dfrac{2(3+4{k}^{2})}{-8k}=-\dfrac{3}{4k}$，
$\therefore \tan \angle PQR=\dfrac{{k}_{PQ}-{k}_{QR}}{1+{k}_{PQ}\cdot {k}_{QR}}=\dfrac{k+\dfrac{3}{4k}}{1-\dfrac{3}{4}}=4k+\dfrac{3}{k}\geqslant 2\sqrt{4k\cdot \dfrac{3}{k}}=4\sqrt{3}$，当且仅当$4k=\dfrac{3}{k}$时，等号成立，
此时，$k=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，符合题意；
故$\tan \angle PQR$的最小值为$4\sqrt{3}$．
〖点评〗本题主要考查了直线与椭圆的综合，属于难题．