（5分）已知$f(x)=2\sin (ax+\theta )(a\in N$，$0\leqslant \theta  < 2\pi )$是偶函数，$f(x)$在区间$(0,\dfrac{\pi }{2})$单调递增，则$\theta =$____，$f(\dfrac{2\pi }{3})=$____．
〖答案〗$\dfrac{3\pi }{2}$；1．
〖分析〗由$f(x)=2\sin (ax+\theta )$是偶函数，且$0\leqslant \theta  < 2\pi$，得$\theta =\dfrac{\pi }{2}$或$\dfrac{3\pi }{2}$，再根据$\theta =\dfrac{\pi }{2}$时$f(0)=2$是最大值，不满足函数$f(x)$在$(0,\dfrac{\pi }{2})$单调递增，$\theta =\dfrac{3\pi }{2}$时$f(0)=-2$是最小值，利用$f(x)$在$(0,\dfrac{\pi }{2})$上单调递增求得$a=2$或1，由此求得$f(\dfrac{2\pi }{3})$的值．
〖解答〗解：因为$f(x)=2\sin (ax+\theta )(a\in Z$，$0\leqslant \theta  < 2\pi )$是偶函数，所以$\theta =\dfrac{\pi }{2}$或$\theta =\dfrac{3\pi }{2}$，
当$\theta =\dfrac{\pi }{2}$时，$f(0)=2\sin (0+\dfrac{\pi }{2})=2$，是最大值，函数$f(x)$在$(0,\dfrac{\pi }{2})$上不是单调递增，不合题意；
当$\theta =\dfrac{3\pi }{2}$时，$f(0)=2\sin (0+\dfrac{3\pi }{2})=-2$，是最小值，由$f(x)=2\sin (ax+\dfrac{3\pi }{2})=-2\cos ax$在$(0,\dfrac{\pi }{2})$单调递增，
所以周期需满足$\vert a\vert \cdot \dfrac{\pi }{2}\leqslant \pi$，即$\vert a\vert \leqslant 2$，因为$a\in Z$，且$f(x)$为偶函数，不妨取$a=2$或$a=1$，$a=0$；
当$a=2$时，$f(\dfrac{2\pi }{3})=-2\cos (2\times \dfrac{2\pi }{3})=-2\cos \dfrac{4\pi }{3}=-2\times (-\dfrac{1}{2})=1$，
当$a=1$时，$f(\dfrac{2\pi }{3})=-2\cos \dfrac{2\pi }{3}=-2\times (-\dfrac{1}{2})=1$；
当$a=0$时，$f(x)=-2$是常函数，不合题意；
综上，$\theta =\dfrac{3\pi }{2}$，$f(\dfrac{2\pi }{3})=1$．
故答案为：$\dfrac{3\pi }{2}$；1．
〖点评〗本题考查了三角函数的图象与性质，是中档题．