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2026年高考数学新高考Ⅰ-7

  2026-10-10 17:44:48  

(5分)一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市,以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔,依山势自上而下排成12行,将第$i$行中塔的座数记为$a_{i}(i=1$,2,$\ldots$,$12)$,其中$a_{1}=1$,$a_{2}=a_{3}=3$,$a_{4}=a_{5}=5$,且$a_{6}$,$a_{7}$,$\ldots$,$a_{12}$是一个首项为7,公差为2的等差数列.将$a_{1}$,$a_{2}$,$\ldots$,$a_{12}$分为6组,每组2个数,使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为$d(d > 0)$的等差数列,则$d=$(  )
A.2              B.4              C.6              D.8
〖答案〗$B$
〖分析〗先求出$a_{i}$的总和,从而得出新等差数列首项和$d$的关系,根据奇偶性以及非负性求解即可.
〖解答〗解:由题可知,$\sum\limits_{i=1}^{12}{a}_{i}=1+3+3+5+5+7\times 7+\dfrac{7\times 6}{2}\times 2=108$,
设每组的2个数之和可构成的等差数列为$\{b_{n}\}$,前$n$项和为$S_{n}$,
因为$S_{6}=108$,
所以$b_{1}+b_{6}=b_{2}+b_{5}=b_{3}+b_{4}=108\div 3=36$,
所以$2b_{1}+5d=36$,
所以$d$为偶数,
所以$b_{1}=18-\dfrac{5}{2}d$,
因为$a_{i}$为奇数,
所以$b_{n}$为偶数,
所以$d$是4的倍数,
因为$b_{1} > 0$,
所以$d < \dfrac{36}{5} < 8$,
所以$d=4$.
故选:$B$.
〖点评〗本题主要考查了数列的求和以及等差数列的性质,根据奇偶性判断$d$的整除性是解题的关键,属于难题.

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