（14分）在△$ABC$中，角$A$、$B$、$C$所对的边分别为$a$、$b$、$c$，且$c=5$．
（1）若$\dfrac{a}{4b}=\dfrac{\sin B}{\sin A}$，$C=\dfrac{\pi }{2}$，求$a$；
（2）若$ab=20$，求△$ABC$的面积的最大值．
〖答案〗（1）$2\sqrt{5}$；
（2）$\dfrac{5\sqrt{55}}{4}$．
〖分析〗（1）由$\dfrac{a}{4b}=\dfrac{\sin B}{\sin A}$，结合正弦定理算出$a=2b$，然后根据勾股定理求出边$a$的长；
（2）根据余弦定理与基本不等式，算出$\cos C$的最小值，结合同角三角函数的关系求得$\sin C$的最大值，进而可得△$ABC$的面积的最大值．
〖解答〗解：（1）由$\dfrac{a}{4b}=\dfrac{\sin B}{\sin A}$，根据正弦定理得$\dfrac{a}{4b}=\dfrac{b}{a}$，化简得$a=2b$，
因为$C=\dfrac{\pi }{2}$，$c=5$，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}=25$，即$4b^{2}+b^{2}=25$，解得$b=\sqrt{5}$，$a=2b=2\sqrt{5}$；
（2）根据$ab=20$，$c=5$，由余弦定理得$\cos C=\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\dfrac{1}{40}(a^{2}+b^{2}-25)\geqslant \dfrac{1}{40}(2ab-25)=\dfrac{3}{8}$，
当且仅当$a=b$时，等号成立．
所以$\cos ^{2}C\geqslant \dfrac{9}{64}$，即$1-\sin ^{2}C\geqslant \dfrac{9}{64}$，可得$\sin ^{2}C\leqslant \dfrac{55}{64}$，结合$\sin C > 0$，解得$\sin C\leqslant \dfrac{\sqrt{55}}{8}$．
因为△$ABC$的面积$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=10\sin C\leqslant 10\times \dfrac{\sqrt{55}}{8}=\dfrac{5\sqrt{55}}{4}$，
所以当$a=b=2\sqrt{5}$时，△$ABC$的面积取得最大值$\dfrac{5\sqrt{55}}{4}$．
〖点评〗本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．