（15分）$\{a_{n}\}$是等差数列，$\{b_{n}\}$是等比数列，$a_{1}=b_{1}=2$，$a_{2}=b_{2}+1$，$a_{3}=b_{3}$．
$(I)$求$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$的通项公式；
（Ⅱ）$\forall n\in N^*$，$I=\{0$，$1\}$，有$T_{n}=\{p_{1}a_{1}b_{1}+p_{2}a_{2}b_{2}+\ldots +p_{n-1}a_{n-1}b_{n-1}+p_{n}a_{n}b_{n}\vert p_{1}$，$p_{2}$，$\ldots$，$p_{n-1}$，$p_{n}\in I\}$．
$(i)$求证：$\forall t\in T_{n}$，均有$t < a_{n+1}b_{n+1}$；
$(ii)$求$T_{n}$所有元素之和．
〖答案〗（Ⅰ）$a_{n}=3n-1$，${b}_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）$(i)$证明见解答；$(ii)2^{n+2}+(3n-4)\cdot 2^{2n}$．
〖分析〗（Ⅰ）设数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，数列$\{b_{n}\}$公比为$q(q\ne 0)$，由题中条件列出关于$d$和$q(q\ne 0)$的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解；
（Ⅱ）$(i)$由题意结合（Ⅰ）求出$a_{n+1}b_{n+1}$和$p_{1}a_{1}b_{1}+p_{2}a_{2}b_{2}+\ldots +p_{n-1}a_{n-1}b_{n-1}+p_{n}a_{n}b_{n}$的最大值，再作差比较两者大小即可证明；
$(ii)$根据$p_{1}$，$p_{2}$，$\ldots$，$p_{n-1}$，$p_{n}$中全为1；一个为0其余为1；2个为0其余为1；$\ldots$；全为0等情况将$T_{n}$中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解．
〖解答〗解：（Ⅰ）设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，等比数列$\{b_{n}\}$公比为$q(q\ne 0)$，
因为$a_{1}=b_{1}=2$，$a_{2}=b_{2}+1$，$a_{3}=b_{3}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}2+d=2q+1\\  2+2d=2q^{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}d=3\\  q=2\end{array}\right.$，
所以$a_{n}=2+3(n-1)=3n-1,b_{n}=2\times 2^{n-1}=2^{n}$；
（Ⅱ）$(i)$证明：由（1）知$a_{n+1}b_{n+1}=(3n+2)2^{n+1}$，
$p_{n}a_{n}b_{n}=(3n-1)2^{n}p_{n}=0$或$p_{n}a_{n}b_{n}=(3n-1)2^{n} >  0$，
当$p_{n}a_{n}b_{n}=(3n-1)2^{n} >  0$时，
设$S_{n}=p_{1}a_{1}b_{1}+p_{2}a_{2}b_{2}+...+p_{n-1}a_{n-1}b_{n-1}+p_{n}a_{n}b_{n}$
$=2\times 2+5\times 2^{2}+...+(3n-4)2^{n-1}+(3n-1)2^{n}$，①
则$2{S}_{n}=2\times {2}^{2}+5\times {2}^{3}+...+(3n-4){2}^{n}+(3n-1){2}^{n+1}$，②
①$-$②得：$-{S}_{n}=4+3({2}^{2}+{2}^{3}+...+{2}^{n})-(3n-1){2}^{n+1}$
$=4+3\times \dfrac{{2}^{2}(1-{2}^{n-1})}{1-2}-(3n-1){2}^{n+1}=-8-(3n-4)2^{n+1}$，
所以$S_{n}=8+(3n-4)2^{n+1}$，所以$S_{n}=8+(3n-4)2^{n+1}$为$T_{n}$中的最大元素，
此时$a_{n+1}b_{n+1}-S_{n}=(3n+2)2^{n+1}-[8+(3n-4)2^{n+1}]=6\cdot 2^{n+1}-8 >  0$恒成立，
所以对$\forall t\in T_{n}$，均有$t < a_{n+1}b_{n+1}$；
$(ii)$因为每个$p_{i}(i=1$，2，$\ldots$，$n)$都有2个值$(0$和$1)$可以取，
所以$T_{n}$所有的元素个数为$2^{n}$个，因为$a_{i}b_{i}$随着$i$的增大而增大，
所以这$2^{n}$个元素互不相同，
又因为$a_{i}b_{i}(i=1$，2，$\ldots$，$n)$在所有元素中出现的总次数为$2^{n-1}$，
所以$T_{n}$中的所有元素之和为${2}^{n-1}{S}_{n}={2}^{n-1}[8+(3n-4){2}^{n+1}]=2^{n+2}+(3n-4)\cdot 2^{2n}$．
〖点评〗本题考查等差等比数列基本量的运算，错位相减法求数列的和，数列的综合应用，属于难题．