（14分）在△$ABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$．已知$a\sin B=\sqrt{3}b\cos A$，$c-2b=1$，$a=\sqrt{7}$．
$(I)$求$A$的值；
（Ⅱ）求$c$；
（Ⅲ）求$\sin (A+2B)$的值．
〖答案〗$(I)A=\dfrac{\pi }{3}$；
（Ⅱ）$c=3$；
（Ⅲ）$\dfrac{4\sqrt{3}}{7}$．
〖分析〗$(I)$由正弦定理，边角互化求解即可；
（Ⅱ）由余弦定理可得$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，代入已知数据及$b=\dfrac{c-1}{2}$，求解即可；
（Ⅲ）由余弦定理可得$\cos B=\dfrac{5\sqrt{7}}{14}$，$\sin B=\dfrac{\sqrt{21}}{14}$，从而求出$\cos 2B$、$\sin 2B$的值，最后由两角和的正弦公式求解即可．
〖解答〗解：$(I)$因为$a\sin B=\sqrt{3}b\cos A$，
所以$\sin A\sin B=\sqrt{3}\sin B\cos A$，
又因为$\sin B\ne 0$，
所以$\sin A=\sqrt{3}\cos A$，
即$\tan A=\sqrt{3}$，
因为$A\in (0,\pi )$，
所以$A=\dfrac{\pi }{3}$；
（Ⅱ）因为$A=\dfrac{\pi }{3}$，$c-2b=1$，$a=\sqrt{7}$，
所以$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，
即$7=(\dfrac{c-1}{2})^{2}+c^{2}-2\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{c(c-1)}{2}$，
整理得：$3c^{2}=27$，
解得$c=3$；
（Ⅲ）因为$A=\dfrac{\pi }{3}$，$c-2b=1$，$c=3$，$a=\sqrt{7}$，
所以$b=1$，
$\cos B=\dfrac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\dfrac{5}{2\sqrt{7}}=\dfrac{5\sqrt{7}}{14}$，
所以$\sin B=\sqrt{1-co{s}^{2}B}=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{21}}{14}$，
所以$\sin 2B=2\sin B\cos B=\dfrac{5\sqrt{3}}{14}$，$\cos 2B=\cos ^{2}B-\sin ^{2}B=\dfrac{11}{14}$，
所以$\sin (A+2B)=\sin A\cos 2B+\cos A\sin 2B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{11}{14}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{5\sqrt{3}}{14}=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}$．
〖点评〗本题考查了三角恒等变换、利用正弦定理及余弦定理解三角形，属于中档题．